Рубрика: երկրաչափություն

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կից կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին՝ S = ab sina:

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի կից կողմերը 10 սմ և 14 սմ են, անկյուններից մեկը` 60°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

70√3

2)Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 12 սմ են, անկյուններից մեկը՝ 150°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

72√36

3)135√2 դմ² մակերեսով զուգահեռագծի կից կողմերը 15 դմ և 18 դմ են: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:

A=45

C=45

B=135

D=135

4)Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 2 սմ-ով մեծ է մյուսից, իսկ դրանց կազմած անկյունը 60° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը, եթե դրա մակերեսը 24√3 սմ² է:

5)Գտեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է 12 սմ, իսկ անկյունը`60^o :

6)Գտեք շեղանկյան կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է 8√2 սմ², իսկ անկյունը` 45^o։

7)322√2 սմ² մակերեսով շեղանկյան անկյուններից մեկը 45° է: Գտե՛ք շեղանկյան կողմը:

1)Եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա երկու կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին՝
S = 1/2 * ab * sinɣ

2)Եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա կողմերի արտադրյալի և դրան արտագծած շրջանագծի շառավղի քառապատիկի հարաբերությանը՝
S = (abc)/(4R)

3)Եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա կիսապարագծի և ներգծած շրջանագծի շառավղի արտադրյալին`

4)Հերոնի բանաձևը․
a, b, c կողմերով եռանկյան մակերեսը՝ S = √(p(p — a)(p — b)(p — c)), որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ p = (a + b + c)/2։

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա 7 սմ և 16 սմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 45° անկյուն:

28արմ2

2)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա 11 դմ և 8 դմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 150° անկյուն:

22

3)Եռանկյան կողմերի արտադրյալը 3570 սմ³ է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 84 սմ² է:

10.620

4)Եռանկյան կողմերի արտադրյալը 150√5սմ է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 15 սմ² է

5արմ5/2

5)Գտե՛ք 5 դմ, 5 դմ, 8 դմ կողմերով եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

4/17

6)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա պարագիծը 40 սմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 3 սմ:

60

7)Գտե՛ք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 210 դմ² է, իսկ պարագիծը՝ 84 դմ:

5

Կամայական եռանկյան դեպքում կիրառում են սինուսների և կոսինուսների թեորեմները:

Սինուսների թեորեմ․

Եռանկյան կողմի հարաբերությունը դրա դիմացի անկյան սինուսին տվյալ եռանկյան համար հաստատուն մեծություն է և հավասար է եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագծին։

Կոսինուսների թեորեմ․

Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանած այդ կողմերի և դրանց կազմած անկյան կոսինուսի կրկնակի արտադրյալը։

Ներկայացնենք կոսինուսների թեորեմի հետևանք, որը կապ է հաստատում զուգահեռագծի կողմերի ու անկյունագծերի միջև:
Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին։

Առաջադրանքներ․

1)ABC եռանկյունում AC = √2 սմ, BC = 1 սմ, <ABC = 45^օ ։ Գտե՛ք BAC անկյունը:

30

2)Եռանկյան կողմը 12 սմ է, իսկ դրա դիմացի անկյունը` 45°: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

6արմատ2

3)Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը 5 դմ է, անկյուններից մեկը՝ 60°: Գտեք այդ անկյան դիմացի կողմը:

5 արմատ 3

4)Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է կողմերից մեկին: Գտե՛ք այդ կողմի դիմացի անկյունը:

30

5)Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 12√3 սմ է, հիմքին առընթեր անկյունը 60° է: Գտեք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

6)Եռանկյան 6 սմ և 2√3 սմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 30° անկյուն: Գտե՛ք երրորդ կողմը:

7)Եռանկյան 3 դմ և 8 դմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 120° անկյուն: Գտե՛ք երրորդ կողմը:

8)Գտե՛ք 5 սմ, 7 սմ, 9 սմ երկարությամբ կողմերով եռանկյան ամենամեծ անկյան կոսինուսը:

9)Եռանկյան կողմերը 6 դմ և 2√7 դմ են: Երկրորդ կողմի դիմացի անկյունը 60° է: Գտե՛ք եռանկյան երրորդ կողմը:

Հունվար ամսվա ֆլեշմոբ․

Կոորդինատային հարթության մեջ կառուցենք 1 շառավղով կիսաշրջանագիծ, որի կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է: Այն անվանենք միավոր կիսաշրջանագիծ:

Դիտարկենք α սուր անկյունով AOX ուղղանկյուն եռանկյունը:

Գիտենք, որ սուր անկյան սինուսը հավասար է անկյան դիմացի էջի հարաբերությանը ներքնաձիգին, իսկ կոսինուսը՝ կից էջի հարաբերությանը ներքնաձիգին:

Այսպիսով՝

քանի որ կիսաշրջանագծի շառավիղը R=AO=1, ապա sinα=AX;cosα=OX

0°≤α≤180° միջակայքի ցանկացած α անկյան սինուս կոչվում է A կետի y կոորդինատը, իսկ կոսինուս՝ այդ կետի x կոորդինատը՝ A(cosα;sinα)

Հետևաբար, 0°≤α≤180° միջակայքի ցանկացած անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝ −1≤cosα≤1; 0≤sinα≤1

1) α անկյան (α≠90°) տանգենս կոչվում է tgα=sinα/cosα հարաբերությունը:

2) α անկյան (α≠0°,180°) կոտանգենս կոչվում է ctgα=cosα/sinα հարաբերությունը:

Տանգենսի (α≠90°) և կոտանգենսի (α≠0°,180°) արժեքները որոշված չեն նշված անկյունների դեպքում, քանի որ դրանց համար կոտորակների հայտարարները հավասար են զրոյի:

Քանի որ ctgα=1/tgα, ապա կոտանգենսի կիրառությունը փոխարինվում են տանգենսով:

Բերված սահմանումների միջոցով և օգտագործելով միավոր շրջանագիծը, ստանում ենք 0°;90°;180° անկյունների սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքները՝

sin0° = 0

cos0° = 1

tg0° = 0

sin90° = 1

cos90° = 0

tg90° գոյություն չունի

sin180° = 0

cos180° = −1

tg180° = 0

Սուր անկյունների համար 8-րդ դասարանից Ձեզ հայտնի է հիմնական եռանկյունաչափական նույնությունը՝ sin²α + cos²α = 1:

Երբեմն հարկ է լինում գտնել 90^o ± α կամ 180^o ± α տեսքի անկյունների սինուսը, կոսինուսը կամ տանգենսը` ունենալով α անկյան սինուսը, կոսինուսը կամ տանգենսը։ Այդ դեպքում օգտագործվում են որոշ բանաձևեր, որոնք կոչվում են բերման բանաձևեր.

Առաջադրանքներ․

1)

ա

2)

Ա,Բ,Գ

3)

1.+

2.-

3.-

4.+

4)

1.cos

2.sin

3.sin

4.cos

5)

sin + 90-30 =armat3/2

6)

cos=90+30=armat3

7)

sin=180-30=armat1/2

Շրջանագծի երկու հատվող լարերից մեկի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին:

Շրջանագծի հատողի և շոշափողի հատկությունը․

Եթե A կետով տարված են AB շոշափողը (B–ն շոշափման կետն է) և հատող, որը շրջանագիծը հատում է C և D կետերում, ապա AB² = AC ∙ AD:

Եթե շրջանագծի դրսի A կետով տարված է երկու հատող, որոնցից մեկը շրջանագիծը հատում է B₁ և C₁ , իսկ մյուսը՝ B₂ և C₂ կետերում, ապա 𝐴𝐵₁ ∙ 𝐴𝐶₁ = 𝐴𝐵₂ ∙ 𝐴𝐶₂ :

Առաջադրանքներ․

1)AB և CD հատվածները հատվում են M կետում այնպես, որ MA = 7 սմ, MB = 21 սմ, MC = 3 սմ և MD = 16 սմ: A, B, C և D կետերը գտնվու՞մ են, արդյոք, միևնույն շրջանագծի վրա։

ոչ

2)Շրջանագծի երկու լարեր հատվում են: Մի լարի հատվածները հավասար են 24 սմ և 14 սմ, իսկ մյուս լարի հատվածներից մեկը`28 սմ: Գտեք երկրորդ լարի երկարությունը:

4

3)Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 48 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը` կիսվում է։ Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը։

24

4)Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 18 մ հատվածների, իսկ երկրորդը` 3 : 8 հարաբերությամբ։ Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը։

9,24

5)Իրար հատող երկու լարերից առաջինը 32 սմ է, իսկ երկրորդ լարի հատվածներն են 12 սմ և 16 սմ: Որոշեք առաջին լարի հատվածները։

28

6)Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշել շոշափողի երկարությունը, եթե հատողի արտաքին և ներքին մասերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ա) 4 սմ և 5 սմ, բ) 2,25 դմ և 1,75 դմ, գ) 1 մ և 2 մ։

10,1

7)Շոշափողը 20 սմ է, իսկ նույն կետից տարված և շրջանագծի կենտրոնով անցնող հատողը` 50 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։

10

Եռանկյան միջնագծերի հատկությունները․

Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որն ամեն մի միջնագիծ բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշված գագաթից։

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը համեմատական միջինն է այն հատվածների, որոնք առաջանում են ներքնաձիգն այդ բարձրությամբ հատելիս։

c հատվածը կոչվում է a և b հատվածների համեմատական միջին կամ երկրաչափական միջին, եթե c² = ab :

Ուղղանկյուն եռանկյան էջը ներքնաձիգի և ներքնաձիգի այն հատվածի համեմատական միջինն է, որն ընկած է ներքնաձիգին տարված բարձրության և այդ էջի միջև։

Առաջադրանքներ․

1)O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AO հատվածի երկարությունը, եթե AK միջնագիծը 18 դմ է:

12

2)O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AK միջնագծի երկարությունը, եթե OK-ն 5 սմ է:

10

3)Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը: Գտե՛ք AB ներքնաձիգը, եթե AC = 6 սմ, AH = 3 սմ:

9

4)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունը այն բաժանում է 4 սմ և 5 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք եռանկյան էջերը:

5)Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը:
Գտեք AB ներքնաձիգը, եթե AH:HB=4:5, AC = 6 դմ:

6)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունն այն բաժանում է 9 սմ և 16 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը

1)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 3 : Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե A₁B₁C₁ եռանկյան մակերեսը 16 սմ² է:

9

2)Նման եռանկյուններից մեկի մակերեսը 20 դմ² է, մյուսինը`5 դմ²: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:

16

3)Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 24 սմ է, իսկ մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 6 սմ է: Գտեք երկրորդ եռանկյան մակերեսը, եթե առաջինի մակերեսը 160 սմ է:

10

4)Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 5 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց մակերեսների հարաբերությունը:

1:25

5)M-ը ABCD զուգահեռագծի BC կողմը բաժանվում է 1:2 հարաբերությամբ՝ հաշված B կետից: AM և BD հատվածները հատվում են K կետում: Գտե՛ք K կետի հեռավորությունը AD-ից, եթե K կետի հեռավորությունը BC-ից 5 սմ է։

15

6)BC = 6 սմ և AD = 18 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք AOD եռանկյան OM միջնագիծը, եթե BOC եռանկյան OK միջնագիծը 8 սմ է:

4

7)BC = 4 սմ և AD = 8 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: M-ը և N–ը համապատասխանաբար AO և OC հատվածների միջնակետերն են: Գտե՛ք DM-ը, եթե BN = 3 սմ:

36

1)Ապացուցեք, որ նկարում պատկերված եռանկյունները նման են։

նման են

2)ABCD զուգահեռագծի CD կողմի վրա նշված է E կետը: AE և BC ուղիղները հատվում են F կետում։ Գտեք`
ա) EF–ը և FC-ն, եթե DE = 8 uմ, EC = 4 սմ, BC = 7 սմ, AE = 10 սմ,

EF=10/3,FC=7/3

բ) DE–ն և EC-ն, եթե AB = 8 սմ, AD = 5 սմ, CF = 2 սմ:

DE=4.8EC=3.2

3)AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք`
ա) AB–ն, եթե OB = 4սմ, OD = 10 սմ, DC = 25 սմ,

10սմ

բ) (AO)/(OC)-ն և (BO)/(OD) -ն եթե AB = a, DC = b

OC/AC=A/B OD/BO=AB

գ) AO-ն, եթե AB = 9,6 դմ, DC = 24 սմ, AC = 15 սմ:

AO=12

4)ABC եռանկյան AB կողմը 15 սմ է, իսկ AC կողմը` 20 սմ։ AB կողմի վրա անջատված է AD = 8 սմ, իսկ AC կողմի վրա՝ AE = 6 սմ հատվածը։ Նման են, արդյոք, ABC և ADE եռանկյունները։

նման են

5)Նման են, արդյոք, երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, եթե դրանցից մեկն ունի 40°–ի անկյուն, իսկ մյուսը` ա) 50°–ին հավասար անկյուն, բ) 60°–ին հավասար անկյուն։

նման չեն

6)Նման են, արդյոք, ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե`
ա) AB = 3սմ, BC = 5սմ, CA = 7սմ, A₁B₁ = 4,5սմ, B₁C₁ = 7,5սմ, C₁A₁ = 10,5սմ

նման են

բ)AB = 1,7սմ, BC = 3սմ, CA = 4,2սմ, A₁B₁ = 34դմ, B₁C₁ = 60դմ, C₁A₁ = 84դմ:

նման են

Եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու անկյուններին, ապա եռանկյունները նման են:  

Եթե ∢B=∢E և ∢C=∢F, ապա ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երկու կողմերին, իսկ այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունները նման են:

Եթե AB/DE=AC/DF և ∢A=∢D, ապա ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանության երրորդ հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:

Եթե AB/DE=BC/EF=AC/DF, ապա ΔABC∼ΔDEF

Խնդիրներ լուծելիս, սկզբում պետք է համոզվել, որ տրված եռանկյունները նման են: Եթե եռանկյունների նմանությունը տրված չէ, ապա դա պետք է ապացուցել:

Առաջադրանքներ․

1)Նման են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե AB = 3մ, BC = 4մ, AC = 6մ, A₁B₁ = 9մ, B₁C₁ = 12մ , A₁C₁ = 18մ:

նման էն

2)Նման են երկու եռանկյուններ, եթե մեկի կողմերը հարաբերում են ինչպես 3:8:9, իսկ մյուսի կողմերը 24 սմ, 9 սմ, 27 սմ են:

նման էն

3)ABC և BCD եռանկյուններում AB = 36 սմ, BC = 18սմ, AC = 20 սմ, DC = 9սմ, DB = 10 սմ: Ապացուցեք, որ ΔABC ~ ΔBCD :

ab<=>bc

ac<==>bd

bc<==>cd

4)O գագաթով անկյան կողմերից մեկի վրա վերցված են A և B, իսկ մյուսի վրա C և D կետերը այնպես, որ AO = 4 սմ, BO = 7սմ, OC =12 սմ, OD = 21սմ: Նման են OAC և OBD եռանկյունները:

նման են

5)Ըստ նկարների տվյալների՝ գտեք x–ը և y–ը։

8:2=12x

6)M-ը և N-ը ABC եռանկյան համապատասխանաբար AB և BC կողմերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը նման է MBN եռանկյանը:

nman en

1)ABC և MNK եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 2, 5 : Գտեք MNK եռանկյան կողմերը, եթե ABC եռանկյան կողմերը 12 դմ, 8 դմ և 15 դմ են:

12:2,5=4,8

8:2,5=3,2

15:2,5=6

2)Նմա՞ն են, արդյոք, ABC և DEF եռանկյունները, եթե <A = 106^օ, <B = 34^օ, <E = 106^օ, <F = 40^օ, AC = 4,4սմ, AB = 5,2սմ, BC = 7,6սմ, DE = 15,6սմ, DF = 22,8սմ, EF = 13,2սմ:

այո նման են

3)ABC և KMN նման եռանկյունների մեջ AB և KM, BC և MN կողմերը նմանակ են։ Գտեք KMN եռանկյան կողմերը, եթե AB = 4 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ , KM/AB = 2,1։

KM=AB x 2.1=4 x 2.1=8.4
MN = BC x 2.1 = 5 x 2.1=10.5
NK = CAx2.1=7×2.1=14.7

4)KPF և EMT եռան կյունները նման են, ընդ որում՝ KP/ME = PF/MT = KF/ET, <F = 20^օ, <E = 40^օ : Գտեք այդ եռանկյունների մյուս անկյունները։

KP=MN-20

PF=MT-40

5)Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերն են 2 սմ և 5 սմ։ Առաջին եռանկյան մյուս երկու կողմերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք երկրորդ եռանկյան պարագիծը:

22.5

6)Նման ուղղանկյուն եռանկյունների երկու նմանակ կողմերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 3: Նրանցից առաջինի էջերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը։

առաջին եռանկյան մակերեսը 6սմ

երկրորդ եռանկյան մակրեսը 15,5սմ