Рубрика: երկրաչափություն

1)Երկու զուգահեռ ուղիղները երրորդով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 26°-ով մեծ է մյուսից։ Գտնել այդ անկյուններից փոքրի աստիճանային չափը:
180-26=154
154:2=77

2)Շրջանագծի երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը կիսվում է: Գտնել երկրորդ լարի երկարությունը:
x*x=12*3
x2=36
x=6

3)Գտնել խորանարդի ծավալը, եթե նրա կողմնային մակերևույթի մակերեսը 100 է։
100:4=25
25=5
5*5*5=125

4)Գտնել x-ը, եթե A (2; 3), B(x; 1) կետերի հեռավորությունը 2 է:
5

5)Գտնել 3a-ն, եթե a {5;-2}:
5*3=15
-2*3=-6
(15;-6)

6)Գտնել AB հատվածի միջակետի կոորդինատները, եթե A (2;3), B(4; 1):

(6;4)

7)Շեղանկյան մակերեսը 96 սմ² է, իսկ անկյունագծերից մեկի երկարությունը՝ 12 սմ: Գտնել շեղանկյան կողմի երկարությունը։
Գտնել շեղանկյան բարձրության երկարությունը։

1)Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատողով հատելիս խաչադիր անկյունների գումարը 160° է։ Գտնել այդ անկյունների կից անկյունների աստիճանային չափը:

կից անկյունների աստիճանային չափը $100^\circ$100∘ է։

2)Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 8 մ է, սրունքը՝ 4 մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60°։ Գտնել սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը։

8-4=4

3)AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են CD կետերն այնպես, որ UAC = 57^o, UBD = 63^o։ Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:
ա)Գտնել CD լարի երկարությունը։
12
բ)Գտնել COD եռանկյան մակերեսը, որտեղ O-ն շրջանագծի կենտրոնն է։
36 արմ2

4)Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը 10 սմ և 14 սմ։ Գտնել այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են։
5+5+7+7=24

5)Շրջանագծին ներգծված է BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն: Գտնել եռանկյան անկյունները, եթե UBC = 112^o:
56+62+62=

6)Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը 96 սմ² է։ Գտնել խորանարդի կողի երկարությունը։
16

7)Տրված են a = 2i — j և b = 6i — 3j վեկտորները:
ա)Գտնել k -ն, եթե b = k * a:
3
բ)Գտնել a − 2b վեկտորի կոորդինատները:
{-10;5}

MA և MB ոչ զրոյական չհամուղղված վեկտորների կազմած անկյուն կոչվում է AMB անկյունը․

Եթե վեկտորները համուղղված են կամ դրանցից գոնե մեկը զրոյական է, ապա կընդունենք, որ դրանց կազմած անկյունը 0° է:
Եթե երկու վեկտորների սկզբնակետերը չեն համընկնում, ապա դրանց կազմած անկյունը որոշելու համար պետք է դրանք տեղադրել որևէ K կետից և օգտվել նույն սկզբակետն ունեցող վեկտորների կազմած անկյան սահմանումից:

a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալ՝ a ^․ b, կոչվում է դրանց երկարությունների և դրանց կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալը․

Եթե a և b վեկտորները փոխուղղահայաց են՝ a = 90°, ապա

a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ արտահայտված դրանց կոորդինատներով:

a{x₁; y₁} և b{x₂, y₂} ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ a ^. b = x₁ x₂ + y₁ y₂ :

Ցանկացած a, b, c վեկտորների համար.

1. a ^․ b = b ^․ a
2. (a + b) ^․ c = a ^․ c + b ^․ c

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք |a| = 4, |b| = 3 երկարությամբ՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե դրանց կազմած անկյունը 30° է:

4x3x√3/2=

6√3

2)45° անկյուն կազմող a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը 8 է, a = 2√2: Գտե՛ք |b|-ն:

2√2 x b x √2/2=8

2b=8

b=4

3)Գտե՛ք a և b վեկտորների կազմած անկյունը, եթե |a| = 5, |b| = 4, a ^․ b = -10:

a=-5

b=2

4)a և b վեկտորների կազմած անկյունը 90° է: Գտե՛ք a(a + b) -ն, եթե
|a| = 5:

a(a + b)=a2+ab=25

5)a և b վեկտորները հակուղղված են: Գտեք 2a և 3b վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե |a| = 6, |b| = 4 :

12*12*-1=-144

6)Գտե՛ք a{3;-4} և b{2;6} վեկտորների սկալյար արտադրյալը:

7)a{3;-4}, b{9; -3}, c{6;-2}, d{3;-2} վեկտորներից որո՞նք են ուղղահայաց p {2;6} վեկտորին:

8)Գտե՛ք x-ը, եթե a{x;2} և b{4;-2} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 12 է:

Առաջադրանքներ․

1)Օգտագործելով R շառավիղով շրջանի S մակերեսի բանաձևը` լրացրեք դատարկ վանդակները։ Օգտվեք π = 3, 14 արժեքից։

4×3,14

2)Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը`
ա) մեծացվի k անգամ, բ) փոքրացվի k անգամ։

k քառակուսի անգամ կմեծանա

k քառակուսի անգամ կփոքրանա

3)Քանի՞ անգամ կմեծանա շրջանի մակերեսը, եթե դրա շառավիղը մեծացվի 3 անգամ:

6 անգամ կմեծանա

4)Գտե՛ք 21 սմ շառավղով և 60° աղեղով սեկտորի մակերեսը:

R² / ∝

5)40° աղեղով սեկտորի մակերեսը 25 դմ² է: Գտեք սեկտորի շառավիղը:

r=π​15​ դմ≈8.46 դմ

6)10 սմ շառավիղով շրջանից կտրված է 60° աղեղով սեկտոր։ Գտեք շրջանի մնացած մասի մակերեսը։

7)Կրկեսի հրապարակի շրջանագծի երկարությունը հավասար է 41 մ։ Գտեք հրապարակի տրամագիծը և մակերեսը։

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կից կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին՝ S = ab sina:

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի կից կողմերը 10 սմ և 14 սմ են, անկյուններից մեկը` 60°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

70√3

2)Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 12 սմ են, անկյուններից մեկը՝ 150°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

72√36

3)135√2 դմ² մակերեսով զուգահեռագծի կից կողմերը 15 դմ և 18 դմ են: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:

A=45

C=45

B=135

D=135

4)Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 2 սմ-ով մեծ է մյուսից, իսկ դրանց կազմած անկյունը 60° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը, եթե դրա մակերեսը 24√3 սմ² է:

5)Գտեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է 12 սմ, իսկ անկյունը`60^o :

6)Գտեք շեղանկյան կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է 8√2 սմ², իսկ անկյունը` 45^o։

7)322√2 սմ² մակերեսով շեղանկյան անկյուններից մեկը 45° է: Գտե՛ք շեղանկյան կողմը:

1)Եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա երկու կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին՝
S = 1/2 * ab * sinɣ

2)Եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա կողմերի արտադրյալի և դրան արտագծած շրջանագծի շառավղի քառապատիկի հարաբերությանը՝
S = (abc)/(4R)

3)Եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա կիսապարագծի և ներգծած շրջանագծի շառավղի արտադրյալին`

4)Հերոնի բանաձևը․
a, b, c կողմերով եռանկյան մակերեսը՝ S = √(p(p — a)(p — b)(p — c)), որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ p = (a + b + c)/2։

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա 7 սմ և 16 սմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 45° անկյուն:

28արմ2

2)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա 11 դմ և 8 դմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 150° անկյուն:

22

3)Եռանկյան կողմերի արտադրյալը 3570 սմ³ է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 84 սմ² է:

10.620

4)Եռանկյան կողմերի արտադրյալը 150√5սմ է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 15 սմ² է

5արմ5/2

5)Գտե՛ք 5 դմ, 5 դմ, 8 դմ կողմերով եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

4/17

6)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա պարագիծը 40 սմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 3 սմ:

60

7)Գտե՛ք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա մակերեսը 210 դմ² է, իսկ պարագիծը՝ 84 դմ:

5

Կամայական եռանկյան դեպքում կիրառում են սինուսների և կոսինուսների թեորեմները:

Սինուսների թեորեմ․

Եռանկյան կողմի հարաբերությունը դրա դիմացի անկյան սինուսին տվյալ եռանկյան համար հաստատուն մեծություն է և հավասար է եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագծին։

Կոսինուսների թեորեմ․

Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանած այդ կողմերի և դրանց կազմած անկյան կոսինուսի կրկնակի արտադրյալը։

Ներկայացնենք կոսինուսների թեորեմի հետևանք, որը կապ է հաստատում զուգահեռագծի կողմերի ու անկյունագծերի միջև:
Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին։

Առաջադրանքներ․

1)ABC եռանկյունում AC = √2 սմ, BC = 1 սմ, <ABC = 45^օ ։ Գտե՛ք BAC անկյունը:

30

2)Եռանկյան կողմը 12 սմ է, իսկ դրա դիմացի անկյունը` 45°: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

6արմատ2

3)Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը 5 դմ է, անկյուններից մեկը՝ 60°: Գտեք այդ անկյան դիմացի կողմը:

5 արմատ 3

4)Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է կողմերից մեկին: Գտե՛ք այդ կողմի դիմացի անկյունը:

30

5)Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 12√3 սմ է, հիմքին առընթեր անկյունը 60° է: Գտեք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

6)Եռանկյան 6 սմ և 2√3 սմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 30° անկյուն: Գտե՛ք երրորդ կողմը:

7)Եռանկյան 3 դմ և 8 դմ երկարությամբ կողմերը կազմում են 120° անկյուն: Գտե՛ք երրորդ կողմը:

8)Գտե՛ք 5 սմ, 7 սմ, 9 սմ երկարությամբ կողմերով եռանկյան ամենամեծ անկյան կոսինուսը:

9)Եռանկյան կողմերը 6 դմ և 2√7 դմ են: Երկրորդ կողմի դիմացի անկյունը 60° է: Գտե՛ք եռանկյան երրորդ կողմը:

Հունվար ամսվա ֆլեշմոբ․

Կոորդինատային հարթության մեջ կառուցենք 1 շառավղով կիսաշրջանագիծ, որի կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է: Այն անվանենք միավոր կիսաշրջանագիծ:

Դիտարկենք α սուր անկյունով AOX ուղղանկյուն եռանկյունը:

Գիտենք, որ սուր անկյան սինուսը հավասար է անկյան դիմացի էջի հարաբերությանը ներքնաձիգին, իսկ կոսինուսը՝ կից էջի հարաբերությանը ներքնաձիգին:

Այսպիսով՝

քանի որ կիսաշրջանագծի շառավիղը R=AO=1, ապա sinα=AX;cosα=OX

0°≤α≤180° միջակայքի ցանկացած α անկյան սինուս կոչվում է A կետի y կոորդինատը, իսկ կոսինուս՝ այդ կետի x կոորդինատը՝ A(cosα;sinα)

Հետևաբար, 0°≤α≤180° միջակայքի ցանկացած անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝ −1≤cosα≤1; 0≤sinα≤1

1) α անկյան (α≠90°) տանգենս կոչվում է tgα=sinα/cosα հարաբերությունը:

2) α անկյան (α≠0°,180°) կոտանգենս կոչվում է ctgα=cosα/sinα հարաբերությունը:

Տանգենսի (α≠90°) և կոտանգենսի (α≠0°,180°) արժեքները որոշված չեն նշված անկյունների դեպքում, քանի որ դրանց համար կոտորակների հայտարարները հավասար են զրոյի:

Քանի որ ctgα=1/tgα, ապա կոտանգենսի կիրառությունը փոխարինվում են տանգենսով:

Բերված սահմանումների միջոցով և օգտագործելով միավոր շրջանագիծը, ստանում ենք 0°;90°;180° անկյունների սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքները՝

sin0° = 0

cos0° = 1

tg0° = 0

sin90° = 1

cos90° = 0

tg90° գոյություն չունի

sin180° = 0

cos180° = −1

tg180° = 0

Սուր անկյունների համար 8-րդ դասարանից Ձեզ հայտնի է հիմնական եռանկյունաչափական նույնությունը՝ sin²α + cos²α = 1:

Երբեմն հարկ է լինում գտնել 90^o ± α կամ 180^o ± α տեսքի անկյունների սինուսը, կոսինուսը կամ տանգենսը` ունենալով α անկյան սինուսը, կոսինուսը կամ տանգենսը։ Այդ դեպքում օգտագործվում են որոշ բանաձևեր, որոնք կոչվում են բերման բանաձևեր.

Առաջադրանքներ․

1)

ա

2)

Ա,Բ,Գ

3)

1.+

2.-

3.-

4.+

4)

1.cos

2.sin

3.sin

4.cos

5)

sin + 90-30 =armat3/2

6)

cos=90+30=armat3

7)

sin=180-30=armat1/2

Շրջանագծի երկու հատվող լարերից մեկի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին:

Շրջանագծի հատողի և շոշափողի հատկությունը․

Եթե A կետով տարված են AB շոշափողը (B–ն շոշափման կետն է) և հատող, որը շրջանագիծը հատում է C և D կետերում, ապա AB² = AC ∙ AD:

Եթե շրջանագծի դրսի A կետով տարված է երկու հատող, որոնցից մեկը շրջանագիծը հատում է B₁ և C₁ , իսկ մյուսը՝ B₂ և C₂ կետերում, ապա 𝐴𝐵₁ ∙ 𝐴𝐶₁ = 𝐴𝐵₂ ∙ 𝐴𝐶₂ :

Առաջադրանքներ․

1)AB և CD հատվածները հատվում են M կետում այնպես, որ MA = 7 սմ, MB = 21 սմ, MC = 3 սմ և MD = 16 սմ: A, B, C և D կետերը գտնվու՞մ են, արդյոք, միևնույն շրջանագծի վրա։

ոչ

2)Շրջանագծի երկու լարեր հատվում են: Մի լարի հատվածները հավասար են 24 սմ և 14 սմ, իսկ մյուս լարի հատվածներից մեկը`28 սմ: Գտեք երկրորդ լարի երկարությունը:

4

3)Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 48 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը` կիսվում է։ Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը։

24

4)Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 18 մ հատվածների, իսկ երկրորդը` 3 : 8 հարաբերությամբ։ Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը։

9,24

5)Իրար հատող երկու լարերից առաջինը 32 սմ է, իսկ երկրորդ լարի հատվածներն են 12 սմ և 16 սմ: Որոշեք առաջին լարի հատվածները։

28

6)Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշել շոշափողի երկարությունը, եթե հատողի արտաքին և ներքին մասերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ա) 4 սմ և 5 սմ, բ) 2,25 դմ և 1,75 դմ, գ) 1 մ և 2 մ։

10,1

7)Շոշափողը 20 սմ է, իսկ նույն կետից տարված և շրջանագծի կենտրոնով անցնող հատողը` 50 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։

10

Եռանկյան միջնագծերի հատկությունները․

Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որն ամեն մի միջնագիծ բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշված գագաթից։

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը համեմատական միջինն է այն հատվածների, որոնք առաջանում են ներքնաձիգն այդ բարձրությամբ հատելիս։

c հատվածը կոչվում է a և b հատվածների համեմատական միջին կամ երկրաչափական միջին, եթե c² = ab :

Ուղղանկյուն եռանկյան էջը ներքնաձիգի և ներքնաձիգի այն հատվածի համեմատական միջինն է, որն ընկած է ներքնաձիգին տարված բարձրության և այդ էջի միջև։

Առաջադրանքներ․

1)O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AO հատվածի երկարությունը, եթե AK միջնագիծը 18 դմ է:

12

2)O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AK միջնագծի երկարությունը, եթե OK-ն 5 սմ է:

10

3)Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը: Գտե՛ք AB ներքնաձիգը, եթե AC = 6 սմ, AH = 3 սմ:

9

4)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունը այն բաժանում է 4 սմ և 5 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք եռանկյան էջերը:

5)Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը:
Գտեք AB ներքնաձիգը, եթե AH:HB=4:5, AC = 6 դմ:

6)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունն այն բաժանում է 9 սմ և 16 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը