Рубрика: երկրաչափություն

Տրված կոորդինատական համակարգում որևէ գծի հավասարում անվանում են x և y փոփոխականներով այն հավասարումը, որին բավարարում են այդ գծի ցանկացած կետի կոորդինատները, և ցանկացած կետ, որի կոորդինատները բավարարում են հավասարմանը, պատկանում է այդ գծին:

Ենթադրենք՝ Oxy կոորդինատային համակարգում տրված են A(x₁; y₁) և B(x₂; y₂) կետերը: Ինչպես գիտեք երկու կետերը միարժեք որոշում են դրանցով անցնող ուղիղը: A(x₁; y₁) և B(x₂; y₂) կետերով անցնող ուղիղը թող լինի l ուղիղը:

Երբ x₂ հավասար չէ x₁, y₂ հավասար չէ y₁, ապա x — x₁ = k(x₂ — x₁) և y — y₁ = k(y₂ — y₁) :

(x — x₁)/(x₂ — x₁) = (y — y₁)/(y₂ — y₁)

հավասարումը l ուղղի հավասարումն է։

Նշենք նաև, որ կոորդինատային հարթությունում ուղղի հավասարումը ax + by + c = 0 տեսքի հավասարում է, որտեղ a և b գործակիցները միաժամանակ զրո չեն:

Դիտարկենք հատուկ ուղիղներ:

1. Ուղիղը զուգահեռ է Oy առանցքին և անցնում է A(xA;0) կետով:

Այդ ուղղի հավասարումն է՝ x = x_A: Մասնավորապես, Oy առանցքի հավասարումն է՝ x=0

2. Ուղիղը զուգահեռ է Ox առանցքին և անցնում է B(0;y_B) կետով: Այդ ուղղի հավասարումն է՝ y=y_B: Մասնավորապես, Ox առանցքի հավասարումն է՝ y=0։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք կոորդինատների սկզբնակետով և M(3; 3) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

2)Գրե՛ք կոորդինատների սկզբնակետով և N(2; — 2) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

3)Գրեք այն ուղղի հավասարումը, որն անցնում է տրված երկու կետերով․

ա)A(1; −1) և B(-3; 2),

բ) C(2; 5) և D(5; 2),

գ) M(0; 1) և N(-4; -5):

4)Գտեք 4x + 3y — 6 = 0 և 2x + y — 4 = 0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները։

5)Սեպտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․

Դուրս բերենք տրված կենտրոնով և տրված շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

1. Շրջանագծի բոլոր կետերը գտնվում են միևնույն կետից (կենտրոն) միևնույն հեռավորության վրա (շառավիղ):

2. Մենք ունենք երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվման բանաձևը՝ 

Բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝

Դիցուք շրջանագծի կենտրոնը C(x_C;y_C) կետն է, իսկ շառավիղը՝ R-ն է: 

Շրջանագծի ցանկացած P(x;y) կետ գտնվում է C կենտրոնից R հեռավորության վրա:

Հետևաբար, տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ 

(x−x_C)²+(y−y_C)²=R²

Սա հենց C կենտրոնով և R շառավղով շրջանագծի հավասարումն է:

Եթե շրջանագծի կենտրոնը կոորդինատների (0;0) սկզբնակետն է, ապա հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը՝ x²+y²=R² ։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, եթե դրա կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է:

2)Գրեք A(-2; 3) կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է B(1; 2) կետով:

3)Գտե՛ք O(3;1) կենտրոնով և A (6; -3) կետով անցնող շրջանագծի շառավիղը:

4)Ինչի՞ է հավասար (x — 11)² + (y + 24)² = 36 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի տրամագիծը:

5)Գրե՛ք A(2; — 1) կենտրոնով և R = 4 շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

6)A(2; 3), B(3; 4), C(5; 0), D(-4; 5), E(-3; 4) կետերից որոնք են գտնվում x²+ y² = 25 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի վրա:

7)Գրե՛ք AB տրամագծով շրջանագծի հավասարումը, եթե A(3; 5), B(7; 3):

Հիշե՛ք․

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները․

Հեռավորությունը կետերի միջև.

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք ABCD զուգահեռագծի D գագաթի կոորդինատները, եթե A(0, 0) B(5, 0) C(12,- 3):

D=7 -3

2)Գտեք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե`

ա) A(2, 7), B(-2, 7),

հեռավօրություն=2

բ) A(-5, 1), B(-5, -7),

հեռավորություն=5

գ) A(-3, 0), B(0, 4),

հեռավորություն=0

դ) Α(0, 3), B(-4, 0):

հեռավորություն=-3

3)Գտեք MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M(4, 0), N(12, -2), P(5, -9):

4)Տրված են A(-2;1), B(1; 5), C(7;5), D(4;1) կետերը: Գտեք ABCD քառանկյան անկյունագծերը և պարագիծը:

5)Ապացուցեք, որ A(1; 7), B(-1; — 1), C(-4; 2) գագաթներով ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներք– նաձիգին տարված միջնագիծը:

6)Գտե՛ք A(1; — 2), B(3; 5), C(8; 0) գագաթներով ABC հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը

«Կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգի» հասկացությունը մեզ հայտնի է հանրահաշվի դասընթացից։ Մենք գիտենք, որ հարթության յուրաքանչյուր կետ որոշվում է երկու կոորդինատով` աբսցիսով և օրդինատով: Կետի աբսցիսը և օրդինատը գտնելու համար այդ կետից իջեցնում ենք ուղղահայացներ, համապատասխանաբար, Ox առանցքին և Oy առանցքին (կամ, որ նույնն է, տանում ենք զուգահեռներ Oy և Ox առանցքներին)։

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները․

Դիտարկենք վերևի նկարի O(0;0) և C(2;4) կետերը միացնող OC հատվածը:

Նկարից երևում է, որ OC հատվածը 2 և 4 կողմերով ուղղանկյան անկյունագիծն է, և նրա միջնակետը B(1;2) կետն է. ուղղանկյան անկյունագծերը հատվելիս կիսվում են:

Նկատում ենք, որ B(1;2) կետի կոորդինատները O(0;0) և C(2;4) կետերի կոորդինատների միջոցով արտահայտվում են հետևյալ կերպ՝

Այս օրինաչափությունը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում:

Եթե կոորդինատային հարթության վրա վերցված են երկու կետեր՝ K(x₀;y₀)  և  L(x₁;y₁), ապա KL հատվածի  M(x;y) միջնակետի կոորդինատները հավասար են՝

Այսպիսով, հարթության վրա տրված երկու կետերը միացնող հատվածի միջնակետի կոորդինատները հավասար են ծայրակետերի համապատասխան կոորդինատների միջին թվաբանականներին:

Հեռավորությունը կետերի միջև.

Հաշվենք MA հեռավորությունը M(1;2) և A(4;3) կետերի միջև:

Այդ կետերից տանենք կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ հատվածներ և դիտարկենք առաջացած APM ուղղանկյուն եռանկյունը:

Հաշվենք APM եռանկյան MP և AP էջերը՝ MP = 4 − 1 = 3, AP = 3 − 2 = 1

Ունենալով APM ուղղանկյուն եռանկյան էջերը, Պյութագորասի թեորեմի միջոցով, գտնում ենք եռանկյան MA ներքնաձիգը՝

Այս օրինաչափությունը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում:

Եթե կոորդինատային հարթության վրա տրված են երկու կետեր՝ K(x₀;y₀) և L(x₁;y₁), ապա այդ կետերի միջև d_KL հեռավորությունը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք A և B ծայրակետերով հատվածի միջնակետի կոորդինատները, եթե

ա) A(2; 3), B(-2; 1)

x=0

y=2

բ) A(1; 8), B(5; 5)

x=3
y=6.5
2)Գտե՛ք AB հատվածի B ծայրակետի կոորդինատները, եթե C(2; — 1) կետը այդ հատվածի միջնակետն է, իսկ A ծայրակետը ունի (3; 5) կոորդինատները:

(1:-7)

3)Գտե՛ք B կետի կոորդինատները, եթե այն A(3; −4) կետի համաչափն է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:

(-3;4)

4)Գտե՛ք A(-2; 3) կետի` x-երի առանցքի նկատմամբ համաչափ B
կետի կոորդինատները:

(-2;3)

5)Գտե՛ք C(7; 2) կետի՝ y-ների առանցքի նկատմամբ համաչափ D
կետի կոորդինատները:

6)Ինչի՞ է հավասար A(2; — 3) կետի հեռավորությունը՝

ա) x-երի առանցքից

բ) y-ների առանցքից

գ) կոորդինատների սկզբնակետից

7)Գտե՛ք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե.

ա) A(1;-3), B(1; 2)

բ) A(2; 3), B(1; −1)

գ) A(0; 2), B(4; -1)

8)Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A(8; 1), B(5; -3), C(11; -3)։

9)Գտեք Ox առանցքի այն կետի կոորդինատները, որը գտնվում է A(5;3) կետից 5 հեռավորության վրա:

1)Գտեք AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա)AB=10սմ, BC=DA=13սմ, CD=20սմ

150

բ)<C=<D=60^o, AB=BC=8սմ

200

գ)<C=<D=45^o, AB=6 սմ, BC=9√2սմ

300

2)Պարզեք, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

6, 8, 10=

5, 6, 7-

11, 9, 13-

15, 20, 25+

3)Որոշեք եռանկյան անկյունները, եթե նրա կողմերն են՝

ա)1, 1, √2+

բ)1, √3, 2-

4)Եռանկյան երկու կողմերն են 30 սմ և 25 սմ, իսկ երրորդ կողմին տարված բարձրությունը՝ 24 սմ: Գտեք երրորդ կողմը:

5)Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 9սմ և 18սմ են, իսկ մեծ սրունքը՝ 15սմ։ Գտեք սեղանի մակերեսը։

6)Պարզեք, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

9, 12, 15+

10, 24, 26-

3, 4, 6-

7)Հավասարասրուն սեղանի անկյունագիծը 25 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ 15 սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը:

1)Արկղն ունի 3,5 դմ կողմով խորանարդի ձև: Որքա՞ն նրբատախտակ է անհրաժեշտ այդ արկղը պատրաստելու համար։

9

2)Ուղղանկյունանիստի ձև ունեցող սենյակի չափսերն են՝ երկարությունը 6 մ, լայնությունը 4 մ, բարձրությունը`3 մ: Գտեք սենյակի՝

ա) հատակի մակերեսը,

4m

բ) պատերի մակերեսը

42

3)3 մ բարձրություն ունեցող սենյակի ուղղանկյունաձև հատակն ունի 5 մ և 4,5 մ չափսեր: Առնվազն քանի փաթեթ պաստառ է հարկավոր այդ սենյակի պատերը լրիվ պաստառապատելու համար, եթե յուրաքանչյուր փաթեթ ունի 9,5 մ² մակերես (դուռը և պատուհանը անտեսել):

9

4)20 մ երկարությամբ, 10 մ լայնությամբ և 2 մ բարձրությամբ ուղղանկյունանիստի ձև ունեցող ջրավազանի հատակը և պատերը անհրաժեշտ է սալիկապատել: Սալիկներից յուրաքանչյուրն ունի 2 դմ կողմով քառակուսու ձև: Քանի՞ այդպիսի սալիկ է հարկավոր։

Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի 5հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c² = a² + b²

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:  

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:

Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

9²=6²+7²;

81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

13²=12²+5²;169=144+25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝

էջ, էջ, ներքնաձիգ

3;4;5

6;8;10

12;16;20

5;12;13

Առաջադրանքներ․

1)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 6 սմ և 8 սմ են: Գտեք դրա ներքնաձիգը:14

2)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13 դմ է, էջերից մեկը՝ 5 դմ: Գտե՛ք մյուս էջը։8

3)Տղան տնից դեպի արևելք անցավ 800 մ, հետո շրջվեց դեպի հյուսիս և անցավ 600 մ: Տնից ի՞նչ հեռավորություն վրա էր տղան:

200m

4)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք՝

ա)AD-ն, եթե AB=5, AC=13

բ)BC-ն, եթե CD=1,5; AC=2,5

5)Ինչքա՞ն պետք է հեռացնել 17 մ երկարությամբ սանդուղքի ստորին ծայրը շենքի պատից, որ դրա վերևի ծայրը լինի 15 մ բարձրության վրա:2m

6)Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը՝ ըստ տրված a և b էջերի․

ա)a=6; b=8+

բ)a=1; b=√3

7)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներքնաձիգը՝ c-ն։ Գտեք b-ն, եթե՝

a = 12; c = 13

22

a = 6; c = 2b

31

8)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք CD-ն, եթե BD=17, BC=15:

20

Ուղղանկյունանիստի մակերևույթը բաղկացած է 6 ուղղանկյունաձև նիստերից՝ 4 կողմնային նիստերից և 2 հիմքերից:

Հանդիպակաց նիստերն իրար հավասար են, հետևաբար հավասար են նաև նրանց մակերեսները:

Ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր նիստերի մակերեսների գումարին:

Ուստի, այն հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

Sլրիվ=Sկողմն+2⋅Sհիմք

Վերևի նկարից երևում է, որ (հանդիպակաց նիստերը հավասար են)

Sկողմն=2ac+2bc

Sհիմք=ab

Գումարելով այս բանաձևերը (հաշվի առնելով, որ ուղղանկյունանիստն ունի 2 հիմք), ստանում ենք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը՝

Sլրիվ=2⋅(ab+ac+bc),

որտեղ a-ն, b-ն և c-ն ուղղանկյունանիստի չափումներն են:

Ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Խորանարդի նիստերը իրար հավասար 6 քառակուսիներ են (a=b=c)

Խորանարդի դեպքում լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը․

S=6a²

Առաջադրանքներ․

1.Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը 2,1 սմ է:

6.5

2.Գտեք այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 24սմ²: Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։

48

3.Ուղղանկյունանիստի հիմքը a = 6սմ և b = 7սմ կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ կողմնային կողը՝ c = 8սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի`

ա) հիմքի մակերեսը

բ) կողմնային մակերևույթի մակերեսը

գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը․

Առաջադրանքներ․

1)Արդյո՞ք նշված արտահայտությունն իմաստ ունի.

1.այօ

2,այո

3.այո

4.այո

5.ոչ

6.ոչ

7.այո

8.ոչ

9.ոչ

10․ոչ

2)Գտե՛ք տրված կողմի երկարությամբ քառակուսու մակերեսը: Հարմարության համար կարելի է փոխել չափման միավորը.

ա) 3 մ= 3×3=9

բ) 9 կմ= 9×9=81               

գ) 0.05 կմ= 0.05×0.05=0.025

դ) 2.8 սմ= 2.8×2.8=4.16

ե) 200 սմ= 200×200=200000

զ) 6000 մմ= 6000×6000=3600000

է) 80 դմ= 80×80=6400

ը) 0.9մ= 0.9×0.9=0.81

թ) 1.3 սմ

ժ) 0.000003 կմ

3)Թիվը բարձրացրե՛ք քառակուսի.

1.1

2.49

3.1..44

4.0.1

5.5

6.1.222

7.14

8.0

9.17.64

10.6.8

4)Գտե՛ք քառակուսու կողմի երկարությունը, եթե նրա մակերեսը հավասար է.

ա) 25 մ² =25

բ) 100 մմ² =100

գ) 49 մ² =49

դ) 0.01 սմ² =0..01

ե) 64 դմ² =64

զ) 0.09 սմ² =0.09

է) 2.56 մ² =2.56

ը) 10000 սմ² =10000

թ) 144 սմ² =144

ժ) 1.69 կմ² =1.69

5)Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը.

1.2

2.5

3.4

4.-1

5.0.1

u.10

7.100

8.21

8.

10.

Երկաչափութթուն

1.գտեք մակերեսը։

պատ․՛4×3=12

2.գտնել մակերեսը

պատ․՛30,150

3.գտնել մակերեսը

Պատ․՛1.s=a2 2.s=a3

4.գտնել մակերեսը

Պատ․՛անկյուն;1:140 անկյուն;2:140

1)Մի քառակուսու կողմը k անգամ մեծ է մյուս քառակուսու կողմից: Գտե՛ք այդ քառակուսիների մակերեսների հարաբերությունը:

2)Քառակուսաձև սենյակներից մեկի կողմը 2 անգամ փոքր է մյուսի կողմից: Գտե՛ք փոքր սենյակի մակերեսը, եթե մեծի մակերեսը 36 մ է:

36×2=72

3)Խոհանոցի պատը երեսապատված է 15 սմ կողմով քառակուսաձև 120 սալիկով: Քանի՞ ուղղանկյունաձև նոր սալիկ է պետք նույն պատը երեսապատելու համար, եթե նոր սալիկների կից կողմերը 10 սմ և 20 սմ են:

10+20=30

120:30=4

4)Գտե՛ք 54 սմ պարագծով ուղղանկյան մակերեսը, եթե՝
ա) կից կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ–ով,
բ) կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4 : 5,
գ) կողմերից մեկը (b + 17) սմ է:

5)ABCD ուղղանկյան A անկյան կիսորդը հատում է