Рубрика: հանրահաշիվ

1)Շրջանագծի հատողն իր արտաքին մասից մեծ է 2ամբ1/4 անգամ։ Հատողը նույն կետից տարված շոշափողից քանի՞ անգամ է մեծ։

ab:ad=9/4^2

3/2

2)Դիցուք՝ AB-ն շոշափող է, AD-ն՝ նույն շրջանագծի հատող, որի արտաքին մասը AC-ն է։ Որոշեք՝
ա) CD-ն, եթե AB = 2 սմ և AD = 4 սմ
4×2=8
բ) AD-ն, եթե AC : CD = 4/5 և AB = 12 սմ
9×2=18

3)Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողն ու հատողը համապատասխանաբար հավասար են 20 սմ և 40 սմ, իսկ հատողի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից՝ 8 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։

17

4)Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշեք շոշափողի երկարությունը, եթե նա հատողի արտաքին մասից 5 սմ–ով մեծ է, իսկ ներքին մասից` նույնքանով փոքր:

5)Մի կետից նույն շրջանագծին տարված են երկու հատող՝ որոնց երկարություններն են 15 սմ և 25 սմ։ Գտեք նրանց արտաքին մասերը, եթե հայտնի է, որ դրանցից մեկը 2 սմ–ով մեծ է մյուսից։

Համակարգը ճիշտ է, երբ ճիշտ են համակարգի բոլոր պայմանները` լինի հավասարում թե անհավասարում։ Այդ պատճառով էլ համակարգի լուծումն իր առանձին պայմանների լուծումների բազմությունների հատումն է։
Օրինակ 1․

Լուծենք համակարգը․

Առաջին անհավասարման լուծումն է (- ∞, — 1] U [3, ∞) բազմությունը, իսկ երկրորդինը՝ (— 2, 4) բաց միջակայքը: Իրար տակ գծենք կոորդինատային առանցքներ և առանձին-առանձին պատկերենք անհավասարումների լուծումները:

Համակարգի լուծումն այդ լուծումների բազմությունների հատումն է՝ (-2, -1] U [3, 4) բազմությունը:

Օրինակ 2.

Լուծենք համախումբը.

Համախումբը կազմված է երկու անհավասարումից: Առաջին անհավասարման լուծումը (-∞, 1) U(5, +∞) բազմությունն է, իսկ երկրորդինը՝ [2,5]: Կոորդինատային առանցքների վրա պատկերելով այդ բազմությունները՝ հեշտությամբ կգտնենք դրանց միավորումը՝ (-∞, 1) U [2, +∞):

Օրինակ 3.

Լուծենք համախումբը.

Կոորդինատային առանցքների վրա պատկերենք անհավասարումների լուծումները.
Առաջին անհավասարման լուծումը` (-∞, -1) U (-1,0) U (3,+∞);
Երկրորդ անհավասարման լուծումը՝ (− 4, 1]։
Համախմբի լուծումն այդ երկու բազմությունների միավորումն է՝ (-∞, 1] U (3,+∞):

Նկատենք, որ −4 թիվը համախմբի լուծում է, թեև x-ի այդ արժեքի դեպքում համախմբի երկրորդ անհավասարումն իմաստ չունի:

Առաջադրանքներ․

1)Լուծե՛ք անհավասարումների համակարգը.

1.(-an;-5)(1;+an) [6;7]

2.(-an;7)(1;+an) [4;10]

3.(-an;4)(1;+an) [2;5]

2)Լուծե՛ք անհավասարումների համակարգը.

1.-3; 5, 3 +an

2.0;-6, 6;+an

3.-an;1, 3;6

3)Լուծե՛ք անհավասարումների համախումբը.

1.-an;6, 7 +an

2.-an;1, 5;+an

3.-an;3, 9;+an

1)Լուծեք անհավասարումները․

1.+-+

2.-++

3.++-

4.-+-

2)Լուծեք անհավասարումները․

1.+++

2.+-+

3.++-

4.-+_

3)Լուծեք անհավասարումները․

1.++-

2.—+

3.+-+-

4.—+

4)Լուծեք անհավասարումները․

1.+_+-

2.+—+

3.—+-

4.+-+-

5)Լուծեք անհավասարումները․

1.+++-

2.-+++

3.+-+-

4.-+-+

Օրինակ 1.
Լուծենք անհավասարումը. 2x² — 9x + 7 > 0
Անհավասարման ձախ մասը վերլուծենք արտադրիչների.
2x² — 9x + 7 = 0
D = (- 9)² — 4 * 2 * 7 = 25
x₁ = (9 — 5)/(2 * 2) = 1
x₂ = (9 + 5)/(2 * 2) = 3.5
Փաստորեն, ստանում ենք հետևյալ համարժեք անհավասարումը.
2(x — 1)(x — 3.5) > 0
Անհավասարման լուծումներն x-ի այն արժեքներն են, որոնց դեպքում 2(x — 1)(x — 3.5) արտահայտության արժեքը դրական է։ Այդ արժեքները կարող ենք գտնել երկու եղանակով՝ միջակայքերի ու գրաֆիկական:
Միջակայքերի եղանակ`
Որոշենք 2(x — 1)(x — 3.5) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը:

(- ∞, 1) և (3.5, +0) միջակայքերում արտահայտությունը դրական է։ Այդ միջակայքերի միավորումը՝ (- ∞, 1) U (3.5, +∞) բազմությունը, կլինի անհավասարման լուծումը: Բազմությունը կարող ենք պատկերել կոորդինատային առանցքի վրա: 1 և 3.5 կետերը նշված են ոչ հոծ (դատարկ), քանի որ անհավասարման լուծումներ չեն.

Գրաֆիկական եղանակ`
Գծենք y = 2(x — 1)(x — 3.5) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ x-երի առանցքը հատում է 1 և 3.5 կետերում։ Գրաֆիկը կունենա նկարում պատկերված տեսքը: Ֆունկցիայի արժեքը դրական է (- ∞, 1) U (3.5, +∞) բազմության
կետերում:

Օրինակ 2.
Լուծենք x² — 7x + 10 <= 0 անհավասարումը։
Բազմանդամի արմատներն են 2 և 5 թվերը: Այն վերլուծելով արտադրիչների՝ ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը.
(x — 2)(x — 5) <= 0
Ուսումնասիրելով նշանապահպանման միջակայքերը՝ տեսնում ենք, որ (2, 5) միջակայքում արտահայտությունը բացասական է։ Քանի որ արտահայտությունն ընդունում է 0 արժեքը 2 և 5 կետերում, ուրեմն լուծումը կլինի [2, 5] հատվածը (փակ միջակայքը).

Օրինակ 3.
Լուծենք 2x² — 7x + 6 >= 0 անհավասարումը:
Քանի որ 2x² — 7x + 6 = 2(x — 1.5)(x — 2) ուրեմն՝ y = 2x² — 7x + 6 ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի նկարում պատկերված տեսքը:

Ինչպես տեսնում ենք, ֆունկցիայի գրաֆիկն ընդունում է ոչ բացասական արժեքներ (- ∞, 1.5] և [2, ∞) կիսաբաց միջակայքերում։ Այդ բազմությունների միավորումը՝ (−∞, 1.5] U [2, +∞)-ը կլինի անհավասարման լուծումը.

Առաջադրանքներ․

1)Անհավասարումը լուծե՛ք միջակայքերի եղանակով.
ա) x² — 6x + 5 > 0
0.7
բ) — x² + 9x + 10 >= 0
1.25
գ) 3x² + 12x + 4 <= — 5
1.66
դ) 4x² + 14x — 5 > — 15

1.8

2)Անհավասարումը լուծե՛ք գրաֆիկական եղանակով.
ա) x² + 6x — 7 > 0
0
բ) — x² + 4x — 3 <= 0
3
գ) — 4x² — 6x + 5 >= 7
1
դ) 4x² + x + 8 >= 24 — 11x

2

3)Լուծե՛ք անհավասարումը.
ա) (x — 6)(x + 9) < 0
+—
բ) (x + 4)(x — 3) >= 0
-+-
գ) (x — 5)(x + 1) >= 0
++-
դ) (2x + 5)(x + 5) <= 0
—+
ե) — 3(x + 1)(x — 5) > 0

+-+
զ) — 2(x + 4)(x — 3.25) <= 0

-+-

1)Հաշվել արտահայտության արժեքը․

1.11/7

2.29/39

3.-1/20

4.1/9

2)Հաշվել արտահայտության արժեքը․

ա)|5a + 2| — |a — 2|, եթե a = 4

20

բ)|3a — 6| — |2a — 1|, եթե a = -2

7

գ)|2a — 5| — |5a — 3|, եթե a = -6

-16

դ)|4a + 2| — |a|, եթե a = -2

8

3)Հաշվել արտահայտության արժեքը․

1.1/7

2.29/39

3.5

4.25

4)Լուծել խնդիրները․

1)8 տրակտոր 10 օրում վարում են 320 հա տարածք։

ա)3 տրակտորները 5 օրում քանի՞ հա տարածք կվարեն։

60

բ)8 տրակտորները քանի՞ օրում կվարեն 160 հա տարածք։

5

2)4 տրակտոր 7 օրում վարում են 280 հա տարածք։

ա)3 տրակտորները 4 օրում քանի՞ հա տարածք կվարեն։

10

բ)5 տրակտորները քանի՞ օրում կվարեն 300 հա տարածք։

5

3)5 տրակտոր 7 օրում վարում են 210 հա տարածք։

ա)2 տրակտորները 3 օրում քանի՞ հա տարածք կվարեն։

36

բ)4 տրակտորները քանի՞ օրում կվարեն 120 հա տարածք։

8

Գծելով y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ ստացվում է նկարում պատկերված կորը։

Այդ գրաֆիկն անվանում են պարաբոլ: Պարաբոլի (0, 0) կետն անվանում են պարաբոլի գագաթ, իսկ գագաթից ձախ ու աջ ձգվող կորերը՝ պարաբոլի ճյուղեր:

Նշենք գրաֆիկի որոշ առանձնահատկություններ․

1)Ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով:

2)Բացի 0-ից, մնացած բոլոր կետերում ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է x-երի առանցքից վերև:

3)Գրաֆիկը համաչափ է y-երի առանցքի նկատմամբ:

4)Ֆունկցիան աճում է [0, +∞) միջակայքում:

5)Ֆունկցիան նվազում է (−∞, 0] միջակայքում:

6)Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը R-ն է, իսկ արժեքների տիրույթը՝ [0, +∞):

Առաջադրանքներ․

1)Տրված x-երի համար գտե՛ք y-ի այնպիսի արժեք, որ (x, y) կետը լինի y = x² պարաբոլի վրա.
ա) x = 0 y=0
բ) x = 3 y=9
գ) x = — 3.2 y=3.2
դ) x = 111 y=222
ե) x = √5.5 y=5.5
զ) x = — √13 y=13
է) x = 2√3 y=23
ը) x = — 6√1.5 y=54

2)Հայտնի է, որ (x, y) կետը պատկանում է y = x² պարաբոլին: Գտե՛ք y-ի տրված արժեքի համար x-ի բոլոր հնարավոր արժեքները: Քանի՞ այդպիսի x կա.
ա) y = 0 x=0
բ) y = 25 x=5
գ) y = 196 x=96
դ) y = 2.89 x=1,445
ե) y = — 16 x=-8
զ) y = -2 x=1
է) y = 2 x=1
ը) y = 45 x= 22,5

3)Ո՞ր կետերում է տրված ուղիղը հատում y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = 0
բ) y = 6
գ) y = — 1.1
դ) y = 64

4)Կառուցե՛ք y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի համաչափը x-երի առանցքի նկատմամբ:

5)Տրված է y = x² ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) 9, բ) 0, գ) 15, դ)– 25 արժեքը:

1)Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք 2f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։

1.

2.

3.

4.

2)Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այն 1 միավորով վերև բարձրացնելով, այնուհետև y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ ձգելով՝ ստացվում է g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
ա) Գծե՛ք g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

բ) g(x) ֆունկցիան արտահայտե՛ք f(x) ֆունկցիայի միջոցով։
գ) Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի զրոները:
դ) Գտե՛ք g(x) ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:

3)Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այդ գրաֆիկը համաչափ արտապատկերելով (շրջելով) x-երի առանցքի նկատմամբ, այնուհետև y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ սեղմելով՝ ստացվում է g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
ա) Գծե՛ք g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

բ) g(x) ֆունկցիան արտահայտե՛ք f(x) ֆունկցիայի միջոցով։
գ) Գտե՛ք g(x) ֆունկցիայի մեծագույն ու փոքրագույն արժեքները:

4)Տրված է f(x) ֆունկցիան, որի արժեքների տիրույթը [—3, 5] միջակայքն է:
Գտե՛ք ա)2/3f(x), բ) 1.8f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

5)Տրված f(x) ֆունկցիան y-ների առանցքի երկայնքով սեղմեցին 2 անգամ, որից հետո համաչափ արտապատկերեցին աբսցիսների առանցքի նկատմամբ: Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց:

1)Գտնել 5 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

2

2)Գտնել 4 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

1.5

3)Գտնել 6 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

28.42

4)70-ը բաժանել 2:3 հարաբերությամբ։

28.32

5)60-ը բաժանել 1:4 հարաբերությամբ։

12.23

6)49-ը բաժանել 2:5 հարաբերությամբ։

7)Հաշվել արտահայտության արժեքը․

1/3

8)|-4| : |-2| + |-6| * 2 =

9)6 : |-3| — 2 : |-2| + 1 =

10)|-2| + |3| — |-4+1| =

11)Որդին տասը տարեկան է։ Հինգ տարի առաջ նա 7 անգամ փոքր էր հորից։

ա)Քանի՞ տարեկան է հայրը։

բ)Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի 2 անգամ։

12)Որդին ութ տարեկան է։ Երկու տարի առաջ նա 5 անգամ փոքր էր հորից։

ա)Քանի՞ տարեկան է հայրը։

բ)Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի 3 անգամ։

у = f(x) + a ֆունկցիայի գրաֆիկը у = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ օրդինատների առանցքի ուղղությամբ:

— Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի վերև կամ դեպի ներքև) որոշվում է a թվի նշանով:

— Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a > 0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի վերև, իսկ եթե a < 0, ապա՝ դեպի ներքև: 

Այս նկարում կատարվում է у = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` չորս միավորով դեպի վերև: Ուրեմն, սա у = x² + 4 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Այս նկարում կատարվում է у = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ներքև: Ուրեմն, սա у = x² − 3 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Ճիշտ է հետևյալ պնդումը:

1)  y = f(x) + a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի վերև:  

2) y = f(x) − a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ներքև:

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք, f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժեցին 5 միավորով վերև, այնուհետև՝ 7 միավորով ներքև։ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։

y=f(x)-2

2)Դիցուք, f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժեցին − 2 միավորով ա) վերև, բ) ներքև։ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։

1.y=f(x)-2

2.y=f(x)+2

3)Հայտնի է, որ f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [0, ∞) միջակայքն է: Գտե՛ք g(x) = f(x) + 3 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

[3,∞)

4)Դիցուք f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [−4, −1] միջակայքն է։ Գտե՛ք.
ա) g(x) = f(x) − 2.5, [-6.5)
բ) g(x) = f(x) + 2 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը

5)Նկարում պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Պատկերե՛ք f(x) + 1 և f(x) — 3 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

ա)

բ)

գ)

դ)

6)Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք f(x) + 2 և f(x) — 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

ա)

բ)

գ)

դ)

7)Գտնել 48-ի 20%-ը։

8)Գտնել 36-ի 25%-ը։

9)Գտնել այն թիվը, որի 20%-ը հավասար է 12-ի։

10)Գտնել այն թիվը, որի 25%-ը հավասար է 15-ի։

1)Կառուցե՛ք f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկ այնպես, որ.
ա)
1) f(0) = 4 f(6) = 6
2) [-5, -1]-ում նվազող է
3) [-1, 3]-ում աճող է
4) [3, 6]-ում չնվազող է։
բ)
1) որոշման տիրույթը [−4, 7] միջակայքն է,
2) նշանապահպանման միջակայքերն են
[-4, 2) և (2, 7],
3) [−2, 3] միջակայքում ֆունկցիան աճող է:
գ)
1) որոշման տիրույթը [−5, 5] միջակայքն է,
2) չնվազող է,
3) f(1) = f(3) = (√5)
դ)
1) որոշման տիրույթը լինի [0, 6] միջակայքը,
2) f(0) = f(6) = — 2
3) [0, 4] միջակայքում ֆունկցիան լինի աճող,
4) ֆունկցիայի զրոները լինեն 2 և 5 կետերը:

2)Տրված է f(x) = x² — 3x ֆունկցիան: Հաշվե՛ք f(1)-ը: Գրե՛ք y = f(x — 2) ֆունկցիայի բանաձևը:

3)Տրված է f(x) = 2x² — 3x + 1 ֆունկցիան:
ա) Հաշվե՛ք f(–1)-ը:
բ) Գրե՛ք y = f(x + 1) ֆունկցիայի բանաձևը:

4)Տրված է f(x) = (x + 1)² — 3x — 3 ֆունկցիան: Գրե՛ք y = f(x — 1) ֆունկցիայի բանաձևը:

5)Տրված է f(x) = x²— x — 1 ֆունկցիան: Գրե՛ք y = f(x — 2) ֆունկցիայի բանաձևը:

6)15-ը 20-ից քանի՞ տոկոսով է փոքր։ 5

7)20-ը 25-ից քանի՞ տոկոսով է փոքր։ 5

8)25-ը 20-ից քանի՞ տոկոսով է մեծ։ 5

9)28-ը 20-ից քանի՞ տոկոսով է մեծ։ 8