Рубрика: հանրահաշիվ

2.a²+6a+9+a²+2a+1=2a²+8a+10

3.(m²+2m+1)*2+(m²+4m+4)*3=5m²+16m+14

4.(p²+2pq+q²)*5+(p²+4pq+4q)*3=8p²+22pq+17q²

5.2a²+10ab+9b-3a²+10ab+4b=-5a²+20ab+5b

6.(3x²+6xy+y²)*2-(2x²+10xy+9y)*3=6x²-18xy-20y²

7.

8.

1.(m+n)(m+n)=m²+mn+nm+n²

2.(2+x)(2+x)=4+2x+2x+x²=4+4x²+x²

3.(y+4)(y+4)=y²+4y+4y+16=y²+8y²+16

4.(1+p)(1+p)=1+1p+1p+1=2+2p

5.(2x+1)(2x+1)=4x²+2+2x+1

6.(2+3a)(2+3a)=4+6a+6a+9²=4+12a²+9²

7.(3m+5n)(3m+5n)=9m²+15mn+15nm+25n²

8.(3x+4y)(3x+4y)=9x²+12xy+12yx+16y²

1.(a²+b)(a²+b)=a⁴+a²b++ba²+b²

2.(p³+q⁵)(p³+q⁵)=p⁹+pq⁸+qp⁸+q¹⁰          

3.(3m+n³)(3m+n³)=9m²+3mn³+3mn³+n⁹=9m²+9mn⁹+n⁹

4.(ab+c)(ab+c)=ab²+abc+cab+c²

5.(2p+3q²)(2p+3q²)=2p²+5pq²+5q²p+9q⁴

6.(x+yx)(x+yx)=x²+x²y+yx²+yx²

7.(3ab²+2c³)(3ab²+2c³)=9ab⁴+5ab²c³+5ab²c³+4c⁹

1.(1/2+a)(1/2+a)=1/2²+1/2a+1/2a+a²=1/2²+2/4a²+a²

2.(x+1/3)(x+1/3)=x²+1/3x+1/3x+1/3²=x²+2/6+1/3²

3.(m+0,2)(m+0,2)=m²+0,2m+0,2m+0,2²=m²+0,4²+0,2²

4.(1,1+p)(1,1+p)=1,1²+1,1p+1,1p+p²=1,1²+2,2p²+p²

5.(1/2a+2/3b)(1/2a+2/3b)=1/2a²+3/5ab+3/5ab+2/3b²=1/2²+6/10ab²+2/3b²

6.(3/4x+1/5y)(3/4x+1/5y)=6/8x²+9/12xy+4/9yx+1/5y²

7.(0,2m+2,1n)(0,2m+2,1n)=0,2m²+2,3mn+2,3mn+2,1n²=0,2m²+4,6mn²+2,1n²

8.(0,4p+0,3q)(0,4p+0,3q)=0,4p²+0,7pq+0,7pq+0,3q²=0,4p²+0,14pq²+0,3q²

1.(a+2b)(a+2b)=a²+2ba+2ba+4b²=a²+4ba²+4b²

2.(3x+y)(3x+y)=3x²+3xy+3xy+y²=3x²+9xy++y²

3.(2x+3y)(2x+3y)=2x²+5xy+5yx+3y²

4.(x+2)(x+2)=x²+2x+2x+2²=x²4x²+2²

Ամբողջ արտահայտություն և նրա թվային արժեք

4 декабря 2023Հանրահաշիվ 7-9

Հանրահաշվական արտահայտություն կոչվում է իմաստալից կազմված գրառումը տառերի, թվաբանական գործողությունների, թվերի և փակագծերի մասնակցությամբ:

a²−3b-ն հանրահաշվական արտահայտություն է:

Քանի որ հանրահաշվական արտահայտության մեջ մասնակցող տառերը կարող են ընդունել տարբեր թվային արժեքներ, ապա տառերը կոչվում են փոփոխականներ:

Թվային արտահայտության պարզեցման արդյունքում ստացվում է թիվ, որը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Հաշվենք a²−3b հանրահաշվական արտահայտության արժեքը a=−16 և b=−14 դեպքում․

a²−3b=(−16)²−3⋅(−14)=256+42=298

Իսկ a²−3a+2 հանրահաշվական արտահայտության արժեքը a=−4 դեպքում հավասար է 30-ի, քանի որ՝

(−4)²−3(−4)+2=16+12+2=30

Եթե տառերի որոշակի արժեքների դեպքում հանրահաշվական արտահայտությունն ունի թվային արժեք, ապա փոփոխականի այդ արժեքները կոչվում են թույլատրելի:

(a²−3)/(a+2) հանրահաշվական արտահայտության համար a=−4-ը թույլատրելի է, իսկ a=−2-ը թույլատրելի չէ, քանի որ այդ դեպքում պետք է բաժանել զրոյի վրա, իսկ զրոյի վրա բաժանել չի կարելի:

Առաջադրանքներ․

1)Հաշվել ամբողջ արտահայության արժեքը x = -10 դեպքում․

ա)3x — 8=3 *(-10)-8=-38

բ)3x² + 4x + 1= 300-40+1=261 

գ)x⁴ + 2x³ + 8x² + x=10000-2000+800-10=8790

2)Լրացրեք աղյուսակը

3)Հաշվեք արտահայտության արժեքը․

ա)(2xy² — 3a)(4x — 5a³y)= եթե x = 1, y = -1, a = 2

բ)(x³ yz² — 4xy³)(3x²y³ — 5xy²z³) եթե x = 2, y = -1, z = -1

գ)(a + b — c)(a² — b²) եթե a = 3, b = 2, c = -4

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Գտեք ամբողջ արտահայտության արժեքը a = -1; b = 2; c = 3 դեպքում․

ա)abc=-1x2x3=-6

բ)ab²c³=-1×2²x3³=-10

գ)3a²(bc)=3ax2x3=8a

դ)(2ab)³c²=2abx3=5ab

ե)(a² — b²) — 3c=1-2×3=4

զ)7(a³ — b²)² + c³=1-2×3=4

2)Լրացրեք աղյուսակը․

3)Հաշվեք արտահայտության արժեքը․

ա)(3a² b — 5x)(7a — 4bx²) եթե a = 1, b = 1, x = 1

բ)(a²b²c — 3b⁵c³)(5a³bc⁴ + 7ab⁴c) եթե a = -1, b = -1, c = -1

գ)(a + b + c)(a² + b²) եթե a = -3, b = -2, c = 4

1)Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների․

ա)2x + 2y =2(x+y)

բ)6a — 3 =3(2a-1)

գ)ax — ab =a(x-b)

դ)2a + 6ab =2a(1+3b)

ե)a² + a =a(a+a)

զ)3x³ — xy² =x(3x² -y²)

է)ax + bx + cx =x(a+b+c)

ը)5a³ + 10a² + 15a=5a(a² +2a+3)

2)Վերլուծե՛ք արտադրիչների.

ա) x(b + a) + y(a + b) =(a+b)(x+y)

բ) 7x(a − b) − 8y(a − b) =(a-b)(7x-8y)

գ) 5y(z − 4) + 2x(4 − z) =(4-z)(5y-2x)

դ) 5x(2a − 7b) + 6y(7b − 2a) =(2a-7b)(5x-6y)

ե) 4a(3x − 1) − b(1 − 3x) =(3x-1)(4a+b)

զ) 7a(a − 3) − (3 − a)(1 + b) =(a-3)(1+b+7a)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների․

ա)x(a + b) + y(a + b)=(a+b)(x+y)

բ)m(n — 3) — 2(n — 3)=(n-3)(m-2)

գ)(a + b)a — b(a + b)=^(a+b)(a-b)

դ)(x — y)3 — a(x + b)=(x-y)(3-a)

ե)2a(1 — b) — 3(1 — b)=(1-b)(2a-3)

զ)a(b + 3) — b(3 + b)=(b+3)(a-b)  

է)7x( x + 2y) — 2(2y + x)=(x+2y)(7x-2)

ը)a(a + b) + (a + b)=a(a+b)

Բացե՛ք փակագծերն ու բերե՛ք կատարյալ տեսքի.

ա) (x + 3)(x + 6)=x²+6x+3x+18=x²+9x+18,

բ) (3a + 4)(2a – 7)=6a²-21a+8a-28=6a²-13a-28,

գ) (9x² − 4x)(9x + 4)=81x³+36x²-36x²-16x=81x³-16x,

դ) (2y² − b²)(3y² + 4b²)=6y⁴+8y²-3b²y²-4b⁴

ե) (a − b)(a + b),=a²+ab-ba-b²

զ) (7a − 3)(7b + 3)=7ab+21a-21b-9:

2)Բացե՛ք փակագծերն ու միավորե՛ք նման միանդամները.

ա) (ax + 5)(bx − 1)abx²+1ax+5bx+5,

բ) (7b² + 3a³)(3a³ − 7b²)=21b²a³+39b⁴3a⁶+21a³b²,

գ) (y − 2)(y + 1),=y²+1y-2y-2

դ) (−x + 5)(x − 1):=-x²-1x+5x+5

3)Բերե՛ք կատարյալ տեսքի.

ա) 5(2 − 3c) + 7(3c + 1),

բ) 6x(x − 2) − 3(2x² − 4),

գ) (a + b)( a² − ab + b²),

դ) (x + 1)(y + 1) + (x − 1)(y − 1):

Երկու բազմանդամների արտադրյալը մի բազմանդամ է, որի անդամներն են մի բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամի և մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամի արտադրյալները:

Օրինակ՝ բազմապատկենք 3a+b և c+2d բազմանդամները`

(3a+b)⋅(c+2d)=3a⋅c+3a⋅2d+b⋅c+b⋅2d=3ac+6ad+bc+2bd:

Այս գործընթացն անվանում են բազմանդամի վերլուծում արտադրիչների:

Օրինակ

ա) Ցանկացած բազմանդամ կարելի է վերլուծել արտադրիչների, որոնցից մեկը զրոյից տարբեր թիվ է՝ x+2y²=2(x/2+y²)

բ) Մենք արդեն ծանոթ ենք ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման գործընթացին: Սա ևս բազմանդամն արտադրիչների վերլուծելու օրինակ է՝ 3x³y−x²y²=x²y(3x−y):

Առաջադրանքներ․

Կատարե՛ք բազմապատկում.

1)  (x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6

2) (5x+1)(2x+4)=7x²20x+3x-4

3) (3b+2)(4-b)=7b-3b²+8-2b

4) (2y-5)(4y-3)=6y²-6y+20y-15

5) (3a+4)(2a-3)=6a²-9a+8a-12

6) (7z-3)(5z-2)=35z²-14z+15z-6

7) (2-4x)(1-3x)=2-6x+4x-12x²

8)(3-2x)(5x+1)=15x-3+10x²-2x

9)(4b-5c)(3b+4c)=12b²-16bc+15cb-20c²

Առաջադրանքներ․

ա) x(2x − 1)=2x²-x,

1)Բացե՛ք փակագծերը և բերե՛ք կատարյալ տեսքի.

բ) 2x(3x + 1)=6x²+2x,

գ) 7(2x + 1)=14x+7,

դ) 5(x + 3z + y²)=5x+15z+5y²,

զ) a(a + b)=a²+ab:

2)Արտադրյալը գրե՛ք կատարյալ բազմանդամի տեսքով.

ա) 4x( y ² − 1)=4xy²-4x

բ) a² (−2b + 4a²)=-2a²b+4a⁴

գ) −2ax(3x − 5a)=-5ax²-3a²x

դ) x y²( x²y − x + 2y)=x²y²— x²y²+2xy²

3)Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 3a+ 3b=3(a+b)=

բ) 2x-2y=xy

գ) 5a+10=15a

դ) 14-7y=7y

ե) 12x+6y=12x+6y

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Արտադրյալը գրե՛ք կատարյալ բազմանդամի տեսքով.

ա) ax(x + 5)=ax²+5ax

բ) x²(5 − x + y)=5x²-x³+x²y

գ) a²(a + b + 1)=a³+a²b+1a²

դ) 3a( x² − 5x)=3ax²-2ax

ե) (2x³ − 7x) ⋅ 2a²=4a²x³+14a²x

2)Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 4-4a=a

բ) ab-bc=ab-bc

գ)3a-9b=-3ab

դ)5x+5=10x

ե)18+36x=54x

զ)12abx+15a=27a²bx

Միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը մի բազմանդամ է, որի անդամներն են այդ միանդամի և բազմանդամի բոլոր անդամների արտադրյալները:

Օրինակ՝ բազմապատկենք a միանդամը և a+b բազմանդամը: Ստանում ենք՝ a⋅(a+b)=a²+ab:

Հիշենք, որ միանդամը բազմանդամով բազմապատկելիս ստանում ենք բազմանդամ:

Եթե վերևի օրինակի հավասարությունը գրենք հակառակ կարգով, ապա նկատում ենք, որ a²+ab բազմանդամը ներկայացվում է a միանդամի և a+b բազմանդամի արտադրյալի տեսքով՝ a²+ab=a(a+b):

Այս գործընթացը անվանում են ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերում: Մեր օրինակում փակագծերից դուրս է բերվել a ընդհանուր արտադրիչը:

Ահա ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման ևս մեկ օրինակ՝

3x³y−x²y²=x²y(3x−y)

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

3 և (a+b)=3a+3b

x և (a-b)=xa-xb

(x+1) և 5=5x+5

(a-b) և x=ax-bx

2)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

(-2)(x+y)=-2x-2y

(7+3y-x²y)(-2xy)=-14xy—6xy²+2x³y²

-ac(a+2c)=-a²c-2ac²

3)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

2(a+b)+4(a+b)=2a+2b+4a+4b=6a+6b

4(x-y)+7(x-y)=4x-4y+7x-7y=11x-11y

4-2(x+1)=4-2x-2=2-2x

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

(a+3)7=7a+21

(x-y)10=10x-10y

a(x-y)=ax-ay

a(a+b)=a²+ab

(a+b-c)2=2a+2b-2c

(a-b)(-6)=-6a+6b

x(x-y+c)=x²-xy+xc

(a-b)5a=5a²-5ab

2)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

3ab(a²-2a+1)=3a³b-6a²b+3ab

2a(x+y)=2ax+2ay

(x² +2xy+y²)(-12xy³)=-12x³y³-24x²y⁴-12xy⁵

21a²b⁵ (a³ -4ab² -b²)= 21a⁵b⁵-84a³b⁷-21a²b⁷  

3)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

2a-3(b-a)=2a-3b+3a

2(a-b)-3(a+b)=2a-2b-3a-3b=-a-b

a(x-y)-b(x+y)=ax-ay-bx-by

3a²-a(3a-4b)-2(b-4a)=3a²-3a²+4ab-2b+8a=

Առաջադրանքներ․

1)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և հաշվե՛ք արժեքը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում.
ա) y − (y + 1) + (y + 5)=y-y-1+y+5=y+4=4, երբ y = 0
բ) (3b − 2) + (b + 1)=3b-2+b+1=4b-1=8-1=7, երբ b = 2
գ) x + (2x − 1) − (2 − 3x)=, երբ x = −1

c.x+2x-1-2+3x=6x-3=-6+(-3)=-9

2)Բազմանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.
ա) 6x² − 3+(2x² − 4)= 6x² − 3+2x² – 4=8x²-7
բ) 6a² − a ³ +(12a + 5)= 6a² − a ³ +12a + 5
գ) 2a x ² − (a − 1)=2a x²-a+1=3a+x²+1
դ) 2a+ (5a + 2) − 4a ²=2a+ 5a + 2 − 4a ²=7a+16a+2=23a+2

a.

b.

c.

d.

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և հաշվե՛ք արժեքը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում.
ա) (7x − 3) − (4x + 1)= 7x – 3-4x-1=3x+2=6x+2 , երբ x = 2
բ) (1/2a + 8) − (2a − 6) + (3/2a + 1)=1/2a+8-2a+6+3/2a+1=4/2a+15-2a=4/2×5+15-10=4/2+10, երբ a = 5

2)Բազմանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.
ա) 1 − ( x² − x + 1)=1-x²+x-1=3x
բ) 2x − (3xy + y + 3x)=2x-3xy-y-3x=3xy-1x-y
գ) 4x + 2x-(x − 1)= 4x + 2x-x+1=5x+1
դ) 5 — (2 − 3c) + 7+(3c + 1)=5-2+3c+7+3c+1=11+6c
ե) 7a² + 5b²-(7a ² + b)= 7a² + 5b²-7a ² – b=28a+26b²