Рубрика: հանրահաշիվ

Երկու բազմանդամների արտադրյալը մի բազմանդամ է, որի անդամներն են մի բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամի և մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամի արտադրյալները:

Օրինակ՝ բազմապատկենք 3a+b և c+2d բազմանդամները`

(3a+b)⋅(c+2d)=3a⋅c+3a⋅2d+b⋅c+b⋅2d=3ac+6ad+bc+2bd:

Այս գործընթացն անվանում են բազմանդամի վերլուծում արտադրիչների:

Օրինակ

ա) Ցանկացած բազմանդամ կարելի է վերլուծել արտադրիչների, որոնցից մեկը զրոյից տարբեր թիվ է՝ x+2y²=2(x/2+y²)

բ) Մենք արդեն ծանոթ ենք ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման գործընթացին: Սա ևս բազմանդամն արտադրիչների վերլուծելու օրինակ է՝ 3x³y−x²y²=x²y(3x−y):

Առաջադրանքներ․

Կատարե՛ք բազմապատկում.

1)  (x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6

2) (5x+1)(2x+4)=7x²20x+3x-4

3) (3b+2)(4-b)=7b-3b²+8-2b

4) (2y-5)(4y-3)=6y²-6y+20y-15

5) (3a+4)(2a-3)=6a²-9a+8a-12

6) (7z-3)(5z-2)=35z²-14z+15z-6

7) (2-4x)(1-3x)=2-6x+4x-12x²

8)(3-2x)(5x+1)=15x-3+10x²-2x

9)(4b-5c)(3b+4c)=12b²-16bc+15cb-20c²

Առաջադրանքներ․

ա) x(2x − 1)=2x²-x,

1)Բացե՛ք փակագծերը և բերե՛ք կատարյալ տեսքի.

բ) 2x(3x + 1)=6x²+2x,

գ) 7(2x + 1)=14x+7,

դ) 5(x + 3z + y²)=5x+15z+5y²,

զ) a(a + b)=a²+ab:

2)Արտադրյալը գրե՛ք կատարյալ բազմանդամի տեսքով.

ա) 4x( y ² − 1)=4xy²-4x

բ) a² (−2b + 4a²)=-2a²b+4a⁴

գ) −2ax(3x − 5a)=-5ax²-3a²x

դ) x y²( x²y − x + 2y)=x²y²— x²y²+2xy²

3)Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 3a+ 3b=3(a+b)=

բ) 2x-2y=xy

գ) 5a+10=15a

դ) 14-7y=7y

ե) 12x+6y=12x+6y

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Արտադրյալը գրե՛ք կատարյալ բազմանդամի տեսքով.

ա) ax(x + 5)=ax²+5ax

բ) x²(5 − x + y)=5x²-x³+x²y

գ) a²(a + b + 1)=a³+a²b+1a²

դ) 3a( x² − 5x)=3ax²-2ax

ե) (2x³ − 7x) ⋅ 2a²=4a²x³+14a²x

2)Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 4-4a=a

բ) ab-bc=ab-bc

գ)3a-9b=-3ab

դ)5x+5=10x

ե)18+36x=54x

զ)12abx+15a=27a²bx

Միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը մի բազմանդամ է, որի անդամներն են այդ միանդամի և բազմանդամի բոլոր անդամների արտադրյալները:

Օրինակ՝ բազմապատկենք a միանդամը և a+b բազմանդամը: Ստանում ենք՝ a⋅(a+b)=a²+ab:

Հիշենք, որ միանդամը բազմանդամով բազմապատկելիս ստանում ենք բազմանդամ:

Եթե վերևի օրինակի հավասարությունը գրենք հակառակ կարգով, ապա նկատում ենք, որ a²+ab բազմանդամը ներկայացվում է a միանդամի և a+b բազմանդամի արտադրյալի տեսքով՝ a²+ab=a(a+b):

Այս գործընթացը անվանում են ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերում: Մեր օրինակում փակագծերից դուրս է բերվել a ընդհանուր արտադրիչը:

Ահա ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման ևս մեկ օրինակ՝

3x³y−x²y²=x²y(3x−y)

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

3 և (a+b)=3a+3b

x և (a-b)=xa-xb

(x+1) և 5=5x+5

(a-b) և x=ax-bx

2)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

(-2)(x+y)=-2x-2y

(7+3y-x²y)(-2xy)=-14xy—6xy²+2x³y²

-ac(a+2c)=-a²c-2ac²

3)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

2(a+b)+4(a+b)=2a+2b+4a+4b=6a+6b

4(x-y)+7(x-y)=4x-4y+7x-7y=11x-11y

4-2(x+1)=4-2x-2=2-2x

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

(a+3)7=7a+21

(x-y)10=10x-10y

a(x-y)=ax-ay

a(a+b)=a²+ab

(a+b-c)2=2a+2b-2c

(a-b)(-6)=-6a+6b

x(x-y+c)=x²-xy+xc

(a-b)5a=5a²-5ab

2)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

3ab(a²-2a+1)=3a³b-6a²b+3ab

2a(x+y)=2ax+2ay

(x² +2xy+y²)(-12xy³)=-12x³y³-24x²y⁴-12xy⁵

21a²b⁵ (a³ -4ab² -b²)= 21a⁵b⁵-84a³b⁷-21a²b⁷  

3)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

2a-3(b-a)=2a-3b+3a

2(a-b)-3(a+b)=2a-2b-3a-3b=-a-b

a(x-y)-b(x+y)=ax-ay-bx-by

3a²-a(3a-4b)-2(b-4a)=3a²-3a²+4ab-2b+8a=

Առաջադրանքներ․

1)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և հաշվե՛ք արժեքը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում.
ա) y − (y + 1) + (y + 5)=y-y-1+y+5=y+4=4, երբ y = 0
բ) (3b − 2) + (b + 1)=3b-2+b+1=4b-1=8-1=7, երբ b = 2
գ) x + (2x − 1) − (2 − 3x)=, երբ x = −1

c.x+2x-1-2+3x=6x-3=-6+(-3)=-9

2)Բազմանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.
ա) 6x² − 3+(2x² − 4)= 6x² − 3+2x² – 4=8x²-7
բ) 6a² − a ³ +(12a + 5)= 6a² − a ³ +12a + 5
գ) 2a x ² − (a − 1)=2a x²-a+1=3a+x²+1
դ) 2a+ (5a + 2) − 4a ²=2a+ 5a + 2 − 4a ²=7a+16a+2=23a+2

a.

b.

c.

d.

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և հաշվե՛ք արժեքը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում.
ա) (7x − 3) − (4x + 1)= 7x – 3-4x-1=3x+2=6x+2 , երբ x = 2
բ) (1/2a + 8) − (2a − 6) + (3/2a + 1)=1/2a+8-2a+6+3/2a+1=4/2a+15-2a=4/2×5+15-10=4/2+10, երբ a = 5

2)Բազմանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.
ա) 1 − ( x² − x + 1)=1-x²+x-1=3x
բ) 2x − (3xy + y + 3x)=2x-3xy-y-3x=3xy-1x-y
գ) 4x + 2x-(x − 1)= 4x + 2x-x+1=5x+1
դ) 5 — (2 − 3c) + 7+(3c + 1)=5-2+3c+7+3c+1=11+6c
ե) 7a² + 5b²-(7a ² + b)= 7a² + 5b²-7a ² – b=28a+26b²

Բազմանդամների գումարը հավասար է մի բազմանդամի, որի անդամները բազմանդամների բոլոր անդամներն են:

Օրինակ՝ 2a²b+ab և b²+ac բազմանդամների գումարը հավասար է՝ 2a²b+ab+b²+ac:

Երկու բազմանդամների տարբերությունը հավասար է մի բազմանդամի, որի անդամներ են հանդիսանում նվազելիի բոլոր անդամները և հանելիի բոլոր անդամները՝ վերցված հակադիր նշաններով:

Բազմանդամների գումարը կամ տարբերությունը գտնելիս հարմար է օգտվել փակագծերի բացման հետևյալ կանոնից:

Եթե փակագծերի առջև դրված է պլյուս նշանը կամ նշան չկա, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել` առանց փոխելու նրանց մեջ գտնվող գումարելիների նշանները:

Եթե փակագծերի առջև դրված է մինուս նշանը, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել՝ փոխելով նրանց մեջ գտնվող բոլոր գումարելիների նշանները:

Այսպիսով, որպեսզի գումարենք կամ հանենք երկու բազմանդամ պետք է՝

1) բացել փակագծերը (օգտվելով կանոնից),

2) կատարել նման անդամների միացում:

Օրինակ 1.

Պարզեցնենք (5a ² + 2x) + (7a ² − 9x) արտահայտությունը:

(5a ² + 2x)+ (7a ² − 9x) = 5a ² + 2x + 7a ² − 9x = 12a ² – 7x

Օրինակ 2.

Գտնենք 5a ² + 2x և 7a ² − 9x բազմանդամների տարբերությունը։

(5a ² + 2x) – (7a ² − 9x) = 5a ² + 2x − 7a ² + 9x = − 2a² + 11x:

Առաջադրանքներ․

1)Գրեք բազմանդամի տեսքով․

a+3c և 5ab-2b-ի տարբերությունը:(a+3c)-(5ab-2b)=

4a+c-ի և 2ab+3b-ի ու 4m-n-ի գումարի գումարը:(4a+c)+(2ab+3b)+4m-n)

2)Պարզեցրեք արտահայտությունը․

7a+(2a+3b)=7a+2a+3b=9a+3b

(5x+7a)+4a=5x+7a+4a=11+5x

(3x-6y)-4x=3x-6y-4x=-x-6y

3m-(5n+2m)=3m-5n-2m=-5n+m

3)Ձևափոխեք կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

5a-(a+1)=5a+(a+1)

2a-(7a+5)=2a+(7a-5)

a+(a+1)=a-(a+1)

a+b+(a-b)=a+b+(a-b)

4)Գտեք տրված բազմանդամների գումար հանդիսացող բազմանդամը․

3a և (2a+b)=3a+(2a+b)

(3-2a) և (-5a-7)=(3-2a)+(-5a-7)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)a+3c և 5ab-2b-ի գումարը: (a+3c) + (5ab-2b-ի)

4a+c-ի և 2ab+3b-ի ու 4m-n-ի գումարի տարբերությունը: 4a+c-ի և 2ab+3b-ի) + (4m-n-)

2)Պարզեցրեք արտահայտությունը․

9x+(2y-5x)=

(5x-7a)+5a=

(2a+5b)-7b=

6p-(5p-3a)=

Որոշե՛ք միանդամի կարգը.
ա) 15aab             3կարգ
բ) −  9d²                          2կարգ
գ) 20xx y ²                   4կարգ

2)Ներկայացրե՛ք աստիճանի տեսքով.
ա) a² ⋅ a⁵=a⁷
բ) b² ⋅ b²=b⁴
գ) 5³ ⋅ 5⁷=5¹⁰

3)Տրված միանդամները բաժանե՛ք նման միանդամների խմբերի.
15xxy, −3 a² z, 3yx, 5aza, 17xy, −2yxx, 0.5 x² y, 4y x²

4)Արտահայտությունը գրե՛ք միանդամի տեսքով.
ա) 3ax + 5ax=8ax
բ) 25 x² − 4xx=21x²
գ) 12a b² − 5a b²=17ab²

5)Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը.
ա) a², երբ a = −5, 3, 4

-5²=25

3²=9

4²=16
բ) k³, երբ k = −1, 3, 5

1²=1

3²=9

5²=25

Եթե n-ը և m-ը բնական թվեր են, ապա տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

aⁿ⋅a^m=a^n+m (միևնույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները գումարվում են),

(ab)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ (տառերի արտադրյալն աստիճան բարձրացնելիս պետք է տառերից յուրաքանչյուրը բարձրացնել այդ աստիճան և արդյունքները բազմապատկել),

(aⁿ)^m=a^nm (տառի աստիճանը նոր աստիճան բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները բազմապատկվում են):

Առաջադրանքներ․

1)Հետևյալ միանդամներից որո՞նք են իրար հավասար.
ա) xxxy4y, abxxb, 2x ² ⋅ 2yx, b ²ax ², 2ab ² x ², ccdd, d³ c ²
բ) aa ³ b ⋅ 6c ², a ⁵b6b ², 2a ⁴ ⋅ 3c ² b, 6ab ³ a ⁴

b ²ax ²= xxxy4y

ccdd= ccdd

2)Միանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.
ա) 2xxxbb,

բ) 4aaaayyyc,

գ) xxyxxy,

դ) xx17yyy,

ե) kkkk,

զ) a ² ⋅ a ³,

է) b ⁴ b,

ը) t³ ⋅ t³

թ) 1aba ² b ² a ³ b ³

2

4

1

17

1

1²x1³

1⁴x1

1³x1³

1²²³³

Տնային աշխատանք․

1)Միանդամը գրե՛ք կատարյալ տեսքով.
ա) (−3)b2,

բ) 4a3,

գ) (−2)b ² b5,

դ) 3a a ³ ⋅ 2,

ե) px ²(−1)p ³ x,

զ) 3t³(−2)s ² t,

է) a ² b0c ⁵,

ը) a ⋅ a ³ b ² c,

թ) ararat:

(-3)2

43

(-2)²5

3³x2

1²(-1)³

3³(-2)²

1²x0⁵

1×1³x1²

2)Գրե՛ք արտադրյալի կատարյալ տեսքը.
ա) 3ab ⋅ 2a,

բ) 8bc ⁴ ⋅ bc,

գ) 9c t² ⋅ 1ct,

դ) 7x ² y ⋅ 2x ² y ⁴,

ե) 1.5x ³ y ⋅ 4x y ²

3×2

8⁴ x1

9²x1

7²x2²⁴

1.5³x4²