Рубрика: հանրահաշիվ

Բազմանդամների գումարը հավասար է մի բազմանդամի, որի անդամները բազմանդամների բոլոր անդամներն են:

Օրինակ՝ 2a²b+ab և b²+ac բազմանդամների գումարը հավասար է՝ 2a²b+ab+b²+ac:

Երկու բազմանդամների տարբերությունը հավասար է մի բազմանդամի, որի անդամներ են հանդիսանում նվազելիի բոլոր անդամները և հանելիի բոլոր անդամները՝ վերցված հակադիր նշաններով:

Բազմանդամների գումարը կամ տարբերությունը գտնելիս հարմար է օգտվել փակագծերի բացման հետևյալ կանոնից:

Եթե փակագծերի առջև դրված է պլյուս նշանը կամ նշան չկա, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել` առանց փոխելու նրանց մեջ գտնվող գումարելիների նշանները:

Եթե փակագծերի առջև դրված է մինուս նշանը, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել՝ փոխելով նրանց մեջ գտնվող բոլոր գումարելիների նշանները:

Այսպիսով, որպեսզի գումարենք կամ հանենք երկու բազմանդամ պետք է՝

1) բացել փակագծերը (օգտվելով կանոնից),

2) կատարել նման անդամների միացում:

Օրինակ 1.

Պարզեցնենք (5a ² + 2x) + (7a ² − 9x) արտահայտությունը:

(5a ² + 2x)+ (7a ² − 9x) = 5a ² + 2x + 7a ² − 9x = 12a ² – 7x

Օրինակ 2.

Գտնենք 5a ² + 2x և 7a ² − 9x բազմանդամների տարբերությունը։

(5a ² + 2x) – (7a ² − 9x) = 5a ² + 2x − 7a ² + 9x = − 2a² + 11x:

Առաջադրանքներ․

1)Գրեք բազմանդամի տեսքով․

a+3c և 5ab-2b-ի տարբերությունը:(a+3c)-(5ab-2b)=

4a+c-ի և 2ab+3b-ի ու 4m-n-ի գումարի գումարը:(4a+c)+(2ab+3b)+4m-n)

2)Պարզեցրեք արտահայտությունը․

7a+(2a+3b)=7a+2a+3b=9a+3b

(5x+7a)+4a=5x+7a+4a=11+5x

(3x-6y)-4x=3x-6y-4x=-x-6y

3m-(5n+2m)=3m-5n-2m=-5n+m

3)Ձևափոխեք կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

5a-(a+1)=5a+(a+1)

2a-(7a+5)=2a+(7a-5)

a+(a+1)=a-(a+1)

a+b+(a-b)=a+b+(a-b)

4)Գտեք տրված բազմանդամների գումար հանդիսացող բազմանդամը․

3a և (2a+b)=3a+(2a+b)

(3-2a) և (-5a-7)=(3-2a)+(-5a-7)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)a+3c և 5ab-2b-ի գումարը: (a+3c) + (5ab-2b-ի)

4a+c-ի և 2ab+3b-ի ու 4m-n-ի գումարի տարբերությունը: 4a+c-ի և 2ab+3b-ի) + (4m-n-)

2)Պարզեցրեք արտահայտությունը․

9x+(2y-5x)=

(5x-7a)+5a=

(2a+5b)-7b=

6p-(5p-3a)=

Որոշե՛ք միանդամի կարգը.
ա) 15aab             3կարգ
բ) −  9d²                          2կարգ
գ) 20xx y ²                   4կարգ

2)Ներկայացրե՛ք աստիճանի տեսքով.
ա) a² ⋅ a⁵=a⁷
բ) b² ⋅ b²=b⁴
գ) 5³ ⋅ 5⁷=5¹⁰

3)Տրված միանդամները բաժանե՛ք նման միանդամների խմբերի.
15xxy, −3 a² z, 3yx, 5aza, 17xy, −2yxx, 0.5 x² y, 4y x²

4)Արտահայտությունը գրե՛ք միանդամի տեսքով.
ա) 3ax + 5ax=8ax
բ) 25 x² − 4xx=21x²
գ) 12a b² − 5a b²=17ab²

5)Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը.
ա) a², երբ a = −5, 3, 4

-5²=25

3²=9

4²=16
բ) k³, երբ k = −1, 3, 5

1²=1

3²=9

5²=25

Եթե n-ը և m-ը բնական թվեր են, ապա տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

aⁿ⋅a^m=a^n+m (միևնույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները գումարվում են),

(ab)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ (տառերի արտադրյալն աստիճան բարձրացնելիս պետք է տառերից յուրաքանչյուրը բարձրացնել այդ աստիճան և արդյունքները բազմապատկել),

(aⁿ)^m=a^nm (տառի աստիճանը նոր աստիճան բարձրացնելիս հիմքը մնում է նույնը, իսկ ցուցիչները բազմապատկվում են):

Առաջադրանքներ․

1)Հետևյալ միանդամներից որո՞նք են իրար հավասար.
ա) xxxy4y, abxxb, 2x ² ⋅ 2yx, b ²ax ², 2ab ² x ², ccdd, d³ c ²
բ) aa ³ b ⋅ 6c ², a ⁵b6b ², 2a ⁴ ⋅ 3c ² b, 6ab ³ a ⁴

b ²ax ²= xxxy4y

ccdd= ccdd

2)Միանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.
ա) 2xxxbb,

բ) 4aaaayyyc,

գ) xxyxxy,

դ) xx17yyy,

ե) kkkk,

զ) a ² ⋅ a ³,

է) b ⁴ b,

ը) t³ ⋅ t³

թ) 1aba ² b ² a ³ b ³

2

4

1

17

1

1²x1³

1⁴x1

1³x1³

1²²³³

Տնային աշխատանք․

1)Միանդամը գրե՛ք կատարյալ տեսքով.
ա) (−3)b2,

բ) 4a3,

գ) (−2)b ² b5,

դ) 3a a ³ ⋅ 2,

ե) px ²(−1)p ³ x,

զ) 3t³(−2)s ² t,

է) a ² b0c ⁵,

ը) a ⋅ a ³ b ² c,

թ) ararat:

(-3)2

43

(-2)²5

3³x2

1²(-1)³

3³(-2)²

1²x0⁵

1×1³x1²

2)Գրե՛ք արտադրյալի կատարյալ տեսքը.
ա) 3ab ⋅ 2a,

բ) 8bc ⁴ ⋅ bc,

գ) 9c t² ⋅ 1ct,

դ) 7x ² y ⋅ 2x ² y ⁴,

ե) 1.5x ³ y ⋅ 4x y ²

3×2

8⁴ x1

9²x1

7²x2²⁴

1.5³x4²

Միանդամ անվանում են հանրահաշվական արտահայտություն, որը իրենից ներկայացնում է թվերի և բնական աստիճան բարձրացրած փոփոխականների արտադրյալ:

Միանդամների օրինակներ՝

3ab; 15a²xy³; a²xy³ /7; −3xy²⋅(2/3)⁴x³ab⁴; 1,9aⁿbⁿ

Միանդամներ են հանդիսանում նաև բոլոր թվերը, փոփոխականները և փոփոխականների աստիճանները:

Օրինակ՝

0; 3; −0.5; x; a; b²; aⁿ

Ասում են, որ փոփոխական պարունակող ոչ զրոյական միանդամն ունի կատարյալ տեսք, եթե այն ունի միայն մեկ թվային արտադրիչ, իսկ յուրաքանչյուր փոփոխական հանդես է գալիս միայն մեկ անգամ՝ գրված որոշակի աստիճանի տեսքով:   

Ցանկացած միանդամ կարելի է գրել կատարյալ տեսքով:

Դրա համար պետք է.

1. բազմապատկել բոլոր թվային արտադրիչները, և տեղադրել ստացված արտադրյալը առաջին տեղում,

2. բազմապատկել նույն տառային հիմքով բոլոր աստիճանները,

3. բազմապատկել մյուս տառային հիմքերով բոլոր աստիճանները, և այլն:

Կատարյալ տեսքով գրված միանդամի թվային արտադրիչը կոչվում է միանդամի գործակից:

Տրված միանդամը և նրա առջև մինուս նշան դրված միանդամը կոչվում են հակադիր միանդամներ:

Օրինակ՝ 3a²bc և −3a²bc միանդամները հակադիր են:

Կատարյալ տեսքի ոչ զրոյական միանդամի աստիճան կոչվում է նրա մեջ մտնող բոլոր տառերի աստիճանների գումարը: 0-ից տարբեր թիվ հանդիսացող միանդամը համարվում է զրո աստիճանի միանդամ:

Օրինակ՝ 3a²b-ն երրորդ աստիճանի միանդամ է, 3c-ն առաջին աստիճանի միանդամ է, 3a³b-ն չորրորդ աստիճանի միանդամ է, իսկ −5,7,−0.3 թվերից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է զրո աստիճանի միանդամ:

Առաջադրանքներ․

57,58,59

Դասագիրք․

Տնային աշխատանք․

60,61

57.

1.10

2.15

3.127

4.1

5.1

6.-8

7.-16

8.20

9.-1

10.1/2

58.

1.1 ½

2.1

3.-1

4.4

5.-2

6.20

5.10

7.7

8.5

9.3

10.-6,4

11.8,3

12.24

13. 3/25

14.15

15.2 ¼

1.(-2) 3

2.4 8

3.(-2) 4

4.3 8

5.(-1)

6.16 3

7.(-3) (-4)

8.3 4

60․

Ա․(AxB)²

Բ.A³xB²

Գ.A²xB²

Դ․A²+B²

Ե․(A+B)²

Զ․A²xB²

Է.A³+B³

Ը. A³xB³

1.3 5

2.1

3.(-1) 5

4.1

5.1/500 (-1)

6.(-4/3) (0,3)

7.1

8.7 0

9.-7/13

10.0

Տառային արտահայտությունը նման է թվային արտահայտությանը, պարզապես մեկ, մի քանի կամ բոլոր թվերի փոխարեն գրված են տառեր։ Գրված տառերն անվանում են փոփոխական մեծություններ կամ պարզապես փոփոխականներ։
Տառային արտահայտություններ են՝ 2 ⋅ x + 7, x ⋅ y + 7 ⋅ z − 2, 1 + 7 + 5 ⋅ a:
Հավասարումը մեկ կամ մի քանի անհայտ մեծության միջոցով գրված տառային կամ թվային արտահայտությունների հավասարությունը նկարագրող
առնչությունն է։ Օրինակ՝ a + b = 5-ը հավասարում է։

Տառային արտահայտություններում ընդունված է հնարավորության դեպքում արտադրյալի նշանը չգրել՝ 7 ⋅ a-ի փոխարեն գրել 7a, իսկ x ⋅ y-ի փոխարեն՝ xy:
Հաճախակի նույնական ձևափոխության միջոցով մի արտահայտությունից ստանում են ավելի պարզ և օգտագործելու համար հարմար այլ արտահայտություն։
ՕՐԻՆԱԿ 1․
Նույնական ձևափոխությունների շարքով պարզեցնենք.
9 ⋅ 147 − 140 – 8 ⋅ 147 = 9 ⋅ 147 – 8 ⋅ 147− 140 = (9 − 8) ⋅ 147 – 140 =
1 ⋅ 147 – 140 = 147 – 140 = 7:
Նույնական ձևափոխությունները կիրառելի են ոչ միայն թվային, այլև տառային արտահայտությունների համար։ Օրինակ 2. a +1 – a = a − a + 1 = 0 + 1 = 1
ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ
Տառային արտահայտության ձևափոխությունն այլ արտահայտության, որոնց արժեքներն իրար հավասար են տառային փոփոխականների բոլոր արժեքների դեպքում, կոչվում է տառային արտահայտության նույնական ձևափոխություն:

ՕՐԻՆԱԿ 3.
7x + 6 + 3x − 4 = 7x + 3x + 6 − 4 = (7 + 3)x + 6 − 4 = 10x + 2:

Առաջադրանքներ․

1.Կատարելով նույնական ձևափոխություններ՝ պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.
ա) 15 + 3(6 − 4) + 3²=30
բ) (1 + 2)² − 3(2 + 1)=0
գ) 7x + (10 − 6)x + 11 =11x+11

դ) 0x + (2x + 1)=2x+1
ե) 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 =32

զ) x + 2x + 4x + 8x + 16x=31x
է) 1 + 2b + 4 + 8b=10b+5

2.Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և հաշվե՛ք արժեքը փոփոխականի տրված արժեքի դեպքում.
ա) (7x − 3) + (4x − 1), երբ x = 2,=18
բ) (a + 8) + (6 − 2a) + (2a + 1), երբ a = 5,=44
գ) y + (−y + 1) + (2y + 10), երբ y = 0,=13
դ) x + (2x − 1) + (3x − 2), երբ x = 2=1

1.Գրե՛ք թվային արտահայտության տեսքով.
ա) 2-ի քառակուսու և 5-ի գումարը,2²+5
բ) 2-ի և 5-ի գումարի քառակուսին,(2+5)²
գ) 2-ի և 5-ի քառակուսու գումարը2²+5²

2.Հաշվե՛ք թվային արտահայտության արժեքը.

ա) 6 ⋅ 7 + 5²=67

բ) (1 + 2 ⋅ 3)² =81

1.  

գ) (1 + 3²)⁴=10000

դ) (1 + 3⁴ − 2) ։ 2³=10

3.Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը.

ա) (4 ²+ 7) ⋅ 5 − 4 − 7 ⋅ 5=76

բ) (6² + 8²) ⋅ 2 − 14²=4

գ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 − 1² − 2² − 3² − 4² − 5²=65

Տնային աշխատանք․

1.Արտահայտե՛ք 3 ⋅ 10⁵ կմ-ը մետրով:

300000=300

2.Թվերը ներկայացրե՛ք 2-ի աստիճանի տեսքով.
2, 4, 8, 32, 64, 128,

2² =4 4² =16 8² =64 32²⁼¹⁰²⁴   64²⁼⁴⁰⁹⁶ 128^2=16384

3.Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը.
ա) 4² + 3³⁼⁴³
բ) 1¹⁰ + (−1)^10=-1

1.Լուծեք հավասարումները․

ա)5x+3x-10=14

8x=24

X=3

բ)-3+9y+13-5y=22

4y=12

Y=3

գ)(5x+3)-(2x-4)=(x-2)-(x+3)=?

դ)2x+1=2x+3

4x=4

X=1

2. Լուծեք խնդիրները կազմելով հավասարում․

ա)Ջրով դույլը կշռում է 10 կգ։Որքա՞ն է կշռում դույլը, եթե հայտնի է, որ այն 9կգ-ով թեթև է նրա մեջ գտնվող ջրից։1kg

բ)Երեք գրադարակներում միասին կա 276 գիրք։Քանի գիրք կա յուրաքանչյուր գրադարակում,եթե երկրորդում 16-ով ավելի գիրք կա,քան առաջինում,իսկ երրորդում 2 անգամ ավելի գիրք կա,քան առաջինում։

Լուծում

276։3=3=92

92-16=76

92+76=168

276-168=108 Պատ․՝1-76 2-92 3-108