Рубрика: հանրահաշիվ

1)Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք 2f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։

1.

2.

3.

4.

2)Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այն 1 միավորով վերև բարձրացնելով, այնուհետև y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ ձգելով՝ ստացվում է g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
ա) Գծե՛ք g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

բ) g(x) ֆունկցիան արտահայտե՛ք f(x) ֆունկցիայի միջոցով։
գ) Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի զրոները:
դ) Գտե՛ք g(x) ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:

3)Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այդ գրաֆիկը համաչափ արտապատկերելով (շրջելով) x-երի առանցքի նկատմամբ, այնուհետև y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ սեղմելով՝ ստացվում է g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
ա) Գծե՛ք g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

բ) g(x) ֆունկցիան արտահայտե՛ք f(x) ֆունկցիայի միջոցով։
գ) Գտե՛ք g(x) ֆունկցիայի մեծագույն ու փոքրագույն արժեքները:

4)Տրված է f(x) ֆունկցիան, որի արժեքների տիրույթը [—3, 5] միջակայքն է:
Գտե՛ք ա)2/3f(x), բ) 1.8f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

5)Տրված f(x) ֆունկցիան y-ների առանցքի երկայնքով սեղմեցին 2 անգամ, որից հետո համաչափ արտապատկերեցին աբսցիսների առանցքի նկատմամբ: Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց:

1)Գտնել 5 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

2

2)Գտնել 4 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

1.5

3)Գտնել 6 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

28.42

4)70-ը բաժանել 2:3 հարաբերությամբ։

28.32

5)60-ը բաժանել 1:4 հարաբերությամբ։

12.23

6)49-ը բաժանել 2:5 հարաբերությամբ։

7)Հաշվել արտահայտության արժեքը․

1/3

8)|-4| : |-2| + |-6| * 2 =

9)6 : |-3| — 2 : |-2| + 1 =

10)|-2| + |3| — |-4+1| =

11)Որդին տասը տարեկան է։ Հինգ տարի առաջ նա 7 անգամ փոքր էր հորից։

ա)Քանի՞ տարեկան է հայրը։

բ)Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի 2 անգամ։

12)Որդին ութ տարեկան է։ Երկու տարի առաջ նա 5 անգամ փոքր էր հորից։

ա)Քանի՞ տարեկան է հայրը։

բ)Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի 3 անգամ։

у = f(x) + a ֆունկցիայի գրաֆիկը у = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ օրդինատների առանցքի ուղղությամբ:

— Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի վերև կամ դեպի ներքև) որոշվում է a թվի նշանով:

— Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a > 0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի վերև, իսկ եթե a < 0, ապա՝ դեպի ներքև: 

Այս նկարում կատարվում է у = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` չորս միավորով դեպի վերև: Ուրեմն, սա у = x² + 4 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Այս նկարում կատարվում է у = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ներքև: Ուրեմն, սա у = x² − 3 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Ճիշտ է հետևյալ պնդումը:

1)  y = f(x) + a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի վերև:  

2) y = f(x) − a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ներքև:

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք, f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժեցին 5 միավորով վերև, այնուհետև՝ 7 միավորով ներքև։ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։

y=f(x)-2

2)Դիցուք, f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժեցին − 2 միավորով ա) վերև, բ) ներքև։ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։

1.y=f(x)-2

2.y=f(x)+2

3)Հայտնի է, որ f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [0, ∞) միջակայքն է: Գտե՛ք g(x) = f(x) + 3 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

[3,∞)

4)Դիցուք f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [−4, −1] միջակայքն է։ Գտե՛ք.
ա) g(x) = f(x) − 2.5, [-6.5)
բ) g(x) = f(x) + 2 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը

5)Նկարում պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Պատկերե՛ք f(x) + 1 և f(x) — 3 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

ա)

բ)

գ)

դ)

6)Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք f(x) + 2 և f(x) — 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

ա)

բ)

գ)

դ)

7)Գտնել 48-ի 20%-ը։

8)Գտնել 36-ի 25%-ը։

9)Գտնել այն թիվը, որի 20%-ը հավասար է 12-ի։

10)Գտնել այն թիվը, որի 25%-ը հավասար է 15-ի։

1)Կառուցե՛ք f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկ այնպես, որ.
ա)
1) f(0) = 4 f(6) = 6
2) [-5, -1]-ում նվազող է
3) [-1, 3]-ում աճող է
4) [3, 6]-ում չնվազող է։
բ)
1) որոշման տիրույթը [−4, 7] միջակայքն է,
2) նշանապահպանման միջակայքերն են
[-4, 2) և (2, 7],
3) [−2, 3] միջակայքում ֆունկցիան աճող է:
գ)
1) որոշման տիրույթը [−5, 5] միջակայքն է,
2) չնվազող է,
3) f(1) = f(3) = (√5)
դ)
1) որոշման տիրույթը լինի [0, 6] միջակայքը,
2) f(0) = f(6) = — 2
3) [0, 4] միջակայքում ֆունկցիան լինի աճող,
4) ֆունկցիայի զրոները լինեն 2 և 5 կետերը:

2)Տրված է f(x) = x² — 3x ֆունկցիան: Հաշվե՛ք f(1)-ը: Գրե՛ք y = f(x — 2) ֆունկցիայի բանաձևը:

3)Տրված է f(x) = 2x² — 3x + 1 ֆունկցիան:
ա) Հաշվե՛ք f(–1)-ը:
բ) Գրե՛ք y = f(x + 1) ֆունկցիայի բանաձևը:

4)Տրված է f(x) = (x + 1)² — 3x — 3 ֆունկցիան: Գրե՛ք y = f(x — 1) ֆունկցիայի բանաձևը:

5)Տրված է f(x) = x²— x — 1 ֆունկցիան: Գրե՛ք y = f(x — 2) ֆունկցիայի բանաձևը:

6)15-ը 20-ից քանի՞ տոկոսով է փոքր։ 5

7)20-ը 25-ից քանի՞ տոկոսով է փոքր։ 5

8)25-ը 20-ից քանի՞ տոկոսով է մեծ։ 5

9)28-ը 20-ից քանի՞ տոկոսով է մեծ։ 8

y = f(x) ֆունկցիան անվանում ենք աճող X միջակայքում, եթե այդ միջակայքին պատկանող ցանկացած x₁ և x₂ թվերի համար x₁ < x₂ պայմանից հետևում է f(x₁) < f(x₂) անհավասարությունը:

y = f(x) ֆունկցիան անվանում ենք նվազող X միջակայքում, եթե այդ միջակայքին պատկանող ցանկացած x₁ և x₂ թվերի համար x₁ < x₂ պայմանից հետևում է f(x₁) > f(x₂) անհավասարությունը:

Ֆունկցիան, որը X միջակայքում աճող է կամ նվազող, կոչվում է այդ միջակայքում խիստ մոնոտոն ֆունկցիա:

Նկարի ֆունկցիայի գրաֆիկը երբեք ներքև չի իջնում, բայց և այնպես այն աճող չէ, քանի որ 3 < 4, բայց f(3) = f(4): Այս տիպի ֆունկցիաներն անվանում են չնվազող ֆունկցիաներ:

Կասենք, որ ֆունկցիան մոնոտոն է X միջակայքում, եթե այդ միջակայքում այն նվազող, աճող, չնվազող կամ չաճող է։

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը․

1.[]

2.

3.

4.

5.

6.

2)Գտե՛ք ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը․

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3)Մոնոտո՞ն է առ․ 2-ում ներկայացված ֆունկցիան: Եթե այո, ապա նշե՛ք մոնոտոնության բնույթը․

Հնարավոր է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջությամբ լինի մոնոտոնության միջակայք: Այդպիսի ֆունկցիաներն անվանում են մոնոտոն: Մոնոտոն ֆունկցիաները լինում են աճող, նվազող, չաճող ու չնվազող:

4)Մոնոտո՞ն է արդյոք ֆունկցիան: Եթե այո, ապա որոշե՛ք մոնոտոնության բնույթը.

5)Գտնել 5 թվի և նրա հակադիր թվի գումարը։

6)Գտնել -8 թվի և նրա հակադիր թվի տարբերությունը։

7)Գտնել 3 թվի և նրա հակադիր թվի արտադրյալը։

8)Գտնել 12 թվի և նրա հակադիր թվի քանորդը։

9)Գտնել -14 թվի և նրա հակադիր թվի քանորդը։

2x − 6 տառային արտահայտությունն ունի երկու նշանապահպանման միջակայք՝ (−∞,3) և (3,+∞)։ Այդ միջակայքերից առաջինում արտահայտությունը բացասական է, երկրորդում՝դրական։ Դա տեսանելի է նաև y = 2x − 6 ֆունկցիայի գրաֆիկից։

Читать далее «հանրահաշիվ» →

1)m-ի փոխարեն գրե՛ք թիվ, որ ստացված քառակուսային եռանդամն ունենա մեկ նշանապահպանման միջակայք.
ա) x² + 5x + m

D=b2-4ac=25-4x1xm<0
25-4m<-254m<-25
4m<25m>25/4=6.25

բ) — 2x²+ 15x — m

D=b2-4ac=4-15xm<0

գ) 3x ²— 7x + m
դ) m * x²— 14x + 30
ե) m * x² + 12x + 34
զ) m * x² — 4x + 8

ԼՈՒԾՈՒՄ․ դ) Եթե քառակուսային եռանդամն ունի մեկ նշանապահպանման միջակայք, ուրեմն այդ միջակայքն է (−∞, + ∞): Դա հնարավոր է, երբ եռանդամն արմատ չունի, այսինքն՝ D < 0։ Ուրեմն՝ D = (- 14)² — 4 * 30m < 0։ Լուծելով անհավասարումը՝ ստանում ենք m > 49/30: Օրինակ՝ m = 12 բավարարում է այս պայմանին

2)Հայտնի է, որ x² + 6x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը — 28 է։
ա)Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք:
բ) Գտեք c-ի արժեքը:
գ) Գտե՛ք x² + 6x — c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը:

3)Հայտնի է, որ 2x² + 9x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը – 63 է։
ա) Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք:
բ) Գտե՛ք c-ի արժեքը:
գ) Գտե՛ք 2x² + 9x — c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը:

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) (x — 3)² * (x² — 8x — 20)
բ) (2x — 1)³ * (4x² — 7x + 3)
գ) (x + 5)⁵ * (x² — 14x + 40)
դ) (x² + 4x — 21) * (5x — 8)²
ե) (x² — 4) * (x — 2)³
զ) (2x² — 50) * (x + 5)⁶

5)Գտնել 18 և 24 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։

6)Գտնել 49 և 56 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։

7)Գտնել 60 և 80 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։

1)m-ի փոխարեն գրե՛ք թիվ, որ ստացված քառակուսային եռանդամն ունենա մեկ նշանապահպանման միջակայք.
ա) x² + 5x + 4
բ) — 2x²+ 15x — 10
գ) 3x ²— 7x + -2
դ) 2 * x²— 14x + 30
ե) -3 * x² + 12x + 34
զ) 5 * x² — 4x + 8

ԼՈՒԾՈՒՄ․ դ) Եթե քառակուսային եռանդամն ունի մեկ նշանապահպանման միջակայք, ուրեմն այդ միջակայքն է (−∞, + ∞): Դա հնարավոր է, երբ եռանդամն արմատ չունի, այսինքն՝ D < 0։ Ուրեմն՝ D = (- 14)² — 4 * 30m < 0։ Լուծելով անհավասարումը՝ ստանում ենք m > 49/30: Օրինակ՝ m = 12 բավարարում է այս պայմանին

2)Հայտնի է, որ x² + 6x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը — 28 է։
ա)Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք: այո կարող է
բ) Գտեք c-ի արժեքը: 21
գ) Գտե՛ք x² + 6x — c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը:

3)Հայտնի է, որ 2x² + 9x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը – 63 է։
ա) Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք: ոչ
բ) Գտե՛ք c-ի արժեքը:
գ) Գտե՛ք 2x² + 9x — c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը:

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) (x — 3)² * (x² — 8x — 20)
բ) (2x — 1)³ * (4x² — 7x + 3)
գ) (x + 5)⁵ * (x² — 14x + 40)
դ) (x² + 4x — 21) * (5x — 8)²
ե) (x² — 4) * (x — 2)³
զ) (2x² — 50) * (x + 5)⁶

5)Գտնել 18 և 24 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։ 1,2,3,6(4 հատ)

6)Գտնել 49 և 56 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։ 1,7(2հատ)

7)Գտնել 60 և 80 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։ 1,2,3,4,5,10,20(6հատ)

0-ից տարբեր երկու թվերի արտադրյալն ու հարաբերությունը նույն նշանի են: Իսկապես, եթե b-ն դրական է, ապա a · b-ն և a/b-ը կունենան a-ի նշանը, իսկ եթե b-ն բացասական է, ապա a · b-ն և a/b-ը կունենան a-ի հակադիր նշանը: Երկու դեպքում էլ a · b և a/b արտահայտությունների նշանները համընկնում են: Դա երևում է նաև հետևյալ նույնությունից.
a/b * b² = ab
Քանի որ b²-ն դրական է, ուրեմն a/b-ը b²-ով բազմապատկելիս նշանը չի փոխվի:
Փաստորեն, 0-ից տարբեր երկու թվերի հարաբերությունն ու արտադրյալն ունեն նույն նշանը: Դրա շնորհիվ կարող ենք որոշել կոտորակի նշանը՝ հաշվելով բացասական թվերի քանակը:

Օրինակ 1.

Պարզենք արտահայտության նշանը.

ա)Քանի որ (−1)⁵ -ը բացասական է, իսկ (−2)⁴-ը՝ դրական, ուրեմն կոտորակի համարիչը բացասական է։ Հայտարարը՝ (−9)³-ը, բացասական է։ Քանի որ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բացասական են, ուրեմն կոտորակը դրական է։

բ)Արտահայտության համարիչը բացասական է, իսկ հայտարարը՝ դրական: Ուրեմն
արտահայտության արժեքը բացասական է։

Օրինակ 2.

Պարզենք փոփոխականների տարբեր արժեքների դեպքում (x−3)/(x− 5) արտահայտության նշանը։

Լուծում.
(x − 3)/(x − 5) արտահայտության համարիչը հավասարվում է 0-ի x = 3 դեպքում, իսկ
հայտարարը՝ x = 5: Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք այդ կետերը։ Հայտարարի 0 լինելու դեպքում կոտորակն իմաստ չունի։ Դա ցուցադրելու համար 5 կոորդինատով կետն առանցքի վրա նշենք խաչով։ Այժմ ընտրենք 5-ից աջ որևէ կետ։ Այդ կետում արտահայտության արժեքը դրական է, քանի որ x − 3 և x − 5 արտահայտությունները դրական են։ Ընտրած կետը շարժենք ձախ, մինչև հայտնվի (3, 5) միջակայքում։ (3, 5) միջակայքի կետերի համար x − 3-ը դրական է, մինչդեռ x − 5-ը՝ բացասական։ Ուրեմն, այդ միջակայքում արտահայտության արժեքը բացասական է։ Շարունակելով շարժել ձախ՝ կետը կհայտնվի 3-ից ձախ։ Այդ միջակայքում x − 3 և x − 5 արտահայտությունները բացասական են, ուստի նրանց հարաբերությունը դրական է։ Ստացվեց նշանապահպանման երեք միջակայք.

Ամփոփենք.

(x − 3)/(x − 5 )արտահայտությունը դրական է (−∞, 3) և (5,+∞) միջակայքերում ու բացասական (3, 5) միջակայքում։ x = 3-ի դեպքում արտահայտության արժեքը 0 է։ x = 5-ի դեպքում արտահայտությունն իմաստ չունի։ Այդ ամենը ցուցադրված է գծապատկերում։

Առաջադրանքն եր․

1)Նշե՛ք x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը դրական է.

1.x=6

2.x=4

3.x=1

4.x=2

2)Նշե՛ք x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը բացասական է.

1.x=6

2.x=1

3.

4.

3)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը տրված կետում․

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանը․

5)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը.

1)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը.

1.դրական

2.բաղցասական

3.դրական

4.դրակլան

5.բացասական

6.բացասական

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը․

1.բացասական

2.բացասական

3.բացասական

4.բացասական

5.դրական

6.բացասական

7.դրական

8.դրական

9.բացասական