Рубрика: հանրահաշիվ

1)m-ի փոխարեն գրե՛ք թիվ, որ ստացված քառակուսային եռանդամն ունենա մեկ նշանապահպանման միջակայք.
ա) x² + 5x + 4
բ) — 2x²+ 15x — 10
գ) 3x ²— 7x + -2
դ) 2 * x²— 14x + 30
ե) -3 * x² + 12x + 34
զ) 5 * x² — 4x + 8

ԼՈՒԾՈՒՄ․ դ) Եթե քառակուսային եռանդամն ունի մեկ նշանապահպանման միջակայք, ուրեմն այդ միջակայքն է (−∞, + ∞): Դա հնարավոր է, երբ եռանդամն արմատ չունի, այսինքն՝ D < 0։ Ուրեմն՝ D = (- 14)² — 4 * 30m < 0։ Լուծելով անհավասարումը՝ ստանում ենք m > 49/30: Օրինակ՝ m = 12 բավարարում է այս պայմանին

2)Հայտնի է, որ x² + 6x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը — 28 է։
ա)Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք: այո կարող է
բ) Գտեք c-ի արժեքը: 21
գ) Գտե՛ք x² + 6x — c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը:

3)Հայտնի է, որ 2x² + 9x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը – 63 է։
ա) Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք: ոչ
բ) Գտե՛ք c-ի արժեքը:
գ) Գտե՛ք 2x² + 9x — c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը:

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) (x — 3)² * (x² — 8x — 20)
բ) (2x — 1)³ * (4x² — 7x + 3)
գ) (x + 5)⁵ * (x² — 14x + 40)
դ) (x² + 4x — 21) * (5x — 8)²
ե) (x² — 4) * (x — 2)³
զ) (2x² — 50) * (x + 5)⁶

5)Գտնել 18 և 24 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։ 1,2,3,6(4 հատ)

6)Գտնել 49 և 56 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։ 1,7(2հատ)

7)Գտնել 60 և 80 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը։ 1,2,3,4,5,10,20(6հատ)

0-ից տարբեր երկու թվերի արտադրյալն ու հարաբերությունը նույն նշանի են: Իսկապես, եթե b-ն դրական է, ապա a · b-ն և a/b-ը կունենան a-ի նշանը, իսկ եթե b-ն բացասական է, ապա a · b-ն և a/b-ը կունենան a-ի հակադիր նշանը: Երկու դեպքում էլ a · b և a/b արտահայտությունների նշանները համընկնում են: Դա երևում է նաև հետևյալ նույնությունից.
a/b * b² = ab
Քանի որ b²-ն դրական է, ուրեմն a/b-ը b²-ով բազմապատկելիս նշանը չի փոխվի:
Փաստորեն, 0-ից տարբեր երկու թվերի հարաբերությունն ու արտադրյալն ունեն նույն նշանը: Դրա շնորհիվ կարող ենք որոշել կոտորակի նշանը՝ հաշվելով բացասական թվերի քանակը:

Օրինակ 1.

Պարզենք արտահայտության նշանը.

ա)Քանի որ (−1)⁵ -ը բացասական է, իսկ (−2)⁴-ը՝ դրական, ուրեմն կոտորակի համարիչը բացասական է։ Հայտարարը՝ (−9)³-ը, բացասական է։ Քանի որ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բացասական են, ուրեմն կոտորակը դրական է։

բ)Արտահայտության համարիչը բացասական է, իսկ հայտարարը՝ դրական: Ուրեմն
արտահայտության արժեքը բացասական է։

Օրինակ 2.

Պարզենք փոփոխականների տարբեր արժեքների դեպքում (x−3)/(x− 5) արտահայտության նշանը։

Լուծում.
(x − 3)/(x − 5) արտահայտության համարիչը հավասարվում է 0-ի x = 3 դեպքում, իսկ
հայտարարը՝ x = 5: Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք այդ կետերը։ Հայտարարի 0 լինելու դեպքում կոտորակն իմաստ չունի։ Դա ցուցադրելու համար 5 կոորդինատով կետն առանցքի վրա նշենք խաչով։ Այժմ ընտրենք 5-ից աջ որևէ կետ։ Այդ կետում արտահայտության արժեքը դրական է, քանի որ x − 3 և x − 5 արտահայտությունները դրական են։ Ընտրած կետը շարժենք ձախ, մինչև հայտնվի (3, 5) միջակայքում։ (3, 5) միջակայքի կետերի համար x − 3-ը դրական է, մինչդեռ x − 5-ը՝ բացասական։ Ուրեմն, այդ միջակայքում արտահայտության արժեքը բացասական է։ Շարունակելով շարժել ձախ՝ կետը կհայտնվի 3-ից ձախ։ Այդ միջակայքում x − 3 և x − 5 արտահայտությունները բացասական են, ուստի նրանց հարաբերությունը դրական է։ Ստացվեց նշանապահպանման երեք միջակայք.

Ամփոփենք.

(x − 3)/(x − 5 )արտահայտությունը դրական է (−∞, 3) և (5,+∞) միջակայքերում ու բացասական (3, 5) միջակայքում։ x = 3-ի դեպքում արտահայտության արժեքը 0 է։ x = 5-ի դեպքում արտահայտությունն իմաստ չունի։ Այդ ամենը ցուցադրված է գծապատկերում։

Առաջադրանքն եր․

1)Նշե՛ք x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը դրական է.

1.x=6

2.x=4

3.x=1

4.x=2

2)Նշե՛ք x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը բացասական է.

1.x=6

2.x=1

3.

4.

3)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը տրված կետում․

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանը․

5)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը.

1)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը.

1.դրական

2.բաղցասական

3.դրական

4.դրակլան

5.բացասական

6.բացասական

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը․

1.բացասական

2.բացասական

3.բացասական

4.բացասական

5.դրական

6.բացասական

7.դրական

8.դրական

9.բացասական

Տառային արտահայտությունում մեկ փոփոխականի առաջին կարգի բազմանդամ արտադրիչն անվանենք գծային արտադրիչ։ Օրինակ՝ (x − 2)(x − 5) արտահայտությունում x − 2 և x − 5 արտահայտությունները գծային արտադրիչներ
են, իսկ (x + 1)(x − 3) + 7-ում գծային արտադրիչ չկա։ Գծային արտադրիչներից կազմված տառային արտահայտության նշանը պարզելը հեշտ է։

Օրինակ 1
Պարզենք (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը, երբ x = 4:
Լուծում։
x − 2 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում դրական է, քանի որ 4 − 2 > 0:
x − 700 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է, քանի որ 4 − 700 < 0: Ուրեմն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է։

Պարզվում է, որ կարող ենք հեշտությամբ պարզել օրինակ 1-ի արտահայտության նշանը x-ի բոլոր արժեքների համար։ Նախ որոշենք, թե երբ է (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0։ Այն 0 է, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը 0 է, այսինքն՝ երբ x = 2 կամ x = 700: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը։ Այդ կետերով կոորդինատային առանցքը բաժանվում է երեք մասի՝ (−∞, 2), (2, 700) և (700,+∞): Այժմ դիտարկենք x կոորդինատով կետի հնարավոր դիրքերը։

1) x կոորդինատով կետը գտնվում է (700, +∞) միջակայքում՝ x ∈ (700,+∞): Այս դեպքում x-ը 2 և 700 կոորդինատներով կետերից աջ է, այսինքն՝ x − 2 և x − 700 արտահայտությունները դրական են։ Քանի որ դրական թվերի արտադրյալը դրական է, ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:

2)x ∈ (2, 700): Այդ միջակայքում գտնվող կետերը գտնվում են 2-ից աջ, 700-ից՝ ձախ։ Ուրեմն՝ x − 2 > 0 և x − 700 < 0: Փաստորեն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արտադրիչներից մեկը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։ Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) < 0:

3)x ∈ (−∞, 2): Այս դեպքում x-ը գտնվում է 2-ից և 700-ից ձախ՝ x − 2 < 0 և x − 700 < 0: Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:

Ամփոփենք.

1. (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0 է, երբ x = 2 կամ x = 700։
2. (−∞, 2) և (700, +∞) միջակայքերին պատկանող x-երի համար (x − 2)(x − 700)
   արտահայտության արժեքը դրական է։
3. x ∈ (2, 700) դեպքում՝ (x − 2)(x − 700) < 0:
   Այս ամենը կոորդինատային առանցքի վրա կարող ենք պատկերել սխեմատիկ.
4. Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը:
5. Յուրաքանչյուր միջակայքի վրա նշենք այդ միջակայքում
   (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը բնութագրող + կամ – նշանը։

(−∞, 2), (2, 700) և (700, +∞) միջակայքերը կոչվում են (x − 2)(x − 700) արտահայտության
նշանապահպանման միջակայքեր։ Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրում արտահայտության նշանը նույնն է։ Ինչպես տեսնում ենք, հարևան միջակայքերում արտահայտության նշանները տարբեր են։ Այդ օրինաչափությունը խախտվում է, երբ գծային արտադրիչներից որևէ մեկի ցուցիչը զույգ է։

Օրինակ 2
Պարզենք (x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում։
(x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության արժեքը 0 է դառնում, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը հավասարվում է 0-ի, այսինքն՝ x = −5, x = 1 և x = 3 դեպքերում: Կոորդինատային առանցքը −5, 1 և 3 կետերով բաժանվում է չորս միջակայքի՝ (−∞, −5), (−5, 1), (1, 3) և (3, +∞): Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրի համար կարող ենք հեշտությամբ որոշել արտահայտության նշանը։ Պարզվում է, որ (−5, 1) միջակայքում արտահայտությունը բացասական է, իսկ մնացած միջակայքերում՝ դրական։

Ինչպես տեսնում ենք, 3 կետից ձախ ու աջ միջակայքերում արտահայտության նշանը նույնն է։ Պատճառը x − 3 արտադրիչի ցուցիչի զույգ լինելն է։ (x − 3)² բացասական լինել չի կարող, ուստի չի ազդում արտահայտության նշանի վրա․ արտահայտության նշանը 3 կետից ձախ ու աջ նույնն է։ Գծային արտադրիչներից կազմված արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերի սխեմատիկ պատկերը կարող ենք գծել հետևյալ պարզ եղանակով.
• Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք բոլոր գծային արտադրիչների արմատները:
• Ընտրենք նշվածներից մեծ թիվ և այդ միջակայքում (ամենաաջ միջակայքում) պարզենք արտահայտության նշանը:
• Շարժվենք ձախ։ Ամեն անգամ առանցքի վրա նշված a կետից ձախ անցնելիս նայենք արտահայտության մեջ x − a արտադրիչի ցուցիչին։ Եթե այն կենտ է, ապա a-ից ձախ անցնելիս արտահայտության նշանը փոխվում է, իսկ եթե զույգ է՝ մնում է նույնը։
Եթե x − a արտադրիչի ցուցիչում ոչինչ գրված չէ, ուրեմն ցուցիչը 1 է՝ x − a = (x − a)¹
:

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում (նշված կետում)․

ա) (x − 1)(x − 34), x = 11

դրական

բ) (x − 3)(x − 0.7), x = 2.2

դրական

գ) (x + 2)(x − 7), x = 9

բացասակա

դ) (x − 4)(x − 9), x = 13

դրական

ե) (x + 5)(x − 8), x = −10

դրական

զ) (x − 5)(x + 10), x = 6

դրական

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.

ա) (x − 2)(x − 8)
x-2=0 x=2
x-8=0 x=8
(-∞;2)- U(2;8) U(8;∞)

բ) (x − √6)(x +√8 )`

x-

գ) (x − 10)(x − 100)

x-10=0 x=10

x-100=0 x=100

դ) (x + √15 )(x − 5 √2 )

ե) (x − 2√7  )(x + 2)

զ) (x − 3√6 )(x + 4)

3)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 2)(x − 5)(x − 6)

բ) (x − 1)(x + 2)(x + 3)

գ) (x − 1)(x − 2)(x + 3)

դ) (x − √5 )(x − 2)(x − 3)

ե) x(x − 1)(x + √6 )

զ) x(x − 2.5)(x − √6 )

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x + 2)(3x − 9)

բ) (4x − 20)(x +  3/7 )

գ) (6x − 5)(x + 3)

դ) (2x − 8)(3x + 21)

ե) (2x + 1/3 )(x − √11 )

զ) (x + 4)(3x − 7)

ԼՈՒԾՈՒՄ։ գ) (6x − 5)(x + 3)-ի արտահայտության առաջին արտադրիչից 6-ը ընդհանուր հանենք՝
(6x − 5)(x + 3) = 6(x − 5/6 )(x + 3)։ Նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, −3), (−3,  5/6) և
(5/6, +∞)։ Առաջին և երրորդ միջակայքերում դրական է, իսկ երկրորդում՝ բացասական։

Որոշել թվի նշանը՝ նշանակում է պարզել՝ այն դրակա՞ն է, բացասակա՞ն, թե՞ հավասար է 0-ի։ Արտահայտության նշան ասելով՝ նկատի ունենք այդ արտահայտության արժեքի նշանը։ Օրինակ՝ 3⋅(−5) արտահայտությունը բացասական է, իսկ (−2)⋅(−8)-ը՝ դրական։

Թվերի արտադրյալը զրո է, եթե արտադրիչներից գոնե մեկը
հավասար է զրոյի։
• 0-ից տարբեր թվերի արտադրյալը դրական է, եթե բացասական
արտադրիչների քանակը զույգ է։
• 0-ից տարբեր թվերի արտադրյալը բացասական է, եթե
բացասական արտադրիչների քանակը կենտ է։

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը․

1. + 3.- 5.- 7.+ 9.-

2.- 4.- 6.+ 8. +

2)Դրակա՞ն, թե՞ բացասական է արտահայտության արժեքը․

1.-

2.+

3.-

4.+

5.+

6.-

3)Ո՞ր բազմությունն է պատկերված գծագրում.

4)Գտե՛ք A և B բազմությունների միավորումն ու հատումը.

1)Լուծեք հավասարումը․

2)Լուծեք հավասարումը․

3)Լուծեք հավասարումը․

Մեկ տառային փոփոխական պարունակող երկրորդ կարգի բազմանդամը կոչվում է քառակուսային եռանդամ:
Քառակուսային եռանդամի գրառման ընդհանուր տեսքն է ax²+bx+c արտահայտությունը, որտեղ x-ը փոփոխականն է, իսկ a, b, c-ն տրված թվեր են (գործակիցներ), ընդ որում a ≠ 0:
ax-ն կոչվում է քառակուսային եռանդամի ավագ անդամ, իսկ a-ն ավագ անդամի գործակից:
bx-ը կոչվում է միջին անդամ, իսկ b-ն՝ միջին անդամի գործակից:
c-ն կոչվում է ազատ անդամ:
Քառակուսային եռանդամը բնութագրող կարևոր մեծություններից է տարբերիչը (դիսկրիմինանտը):

ax² + bx + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ/դիսկրիմինանտ կոչվում է b² — 4ac արտահայտության արժեքը:
Քառակուսային եռանդամի տարբերիչը նշանակում են D տառով՝ D = b²— 4ac:
Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում բազմանդամի արժեքը հավասար է 0-ի, կոչվում են բազմանդամի արմատներ: ax²+bx+c բազմանդամի արմատներ կոչվում են ax² + bx + c = 0 հավասարման լուծումները/արմատները։

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք, բազմանդամը քառակուսային եռանդա՞մ է, թե՞ ոչ.

ш) 3x² — 7x + 3+

ա) x² + y-

բ) (1 — x)(2x + 1)-

գ) 4x³ — 7x² + x+

դ) 3x+

2)Անվանե՛ք քառակուսային եռանդամի գործակիցները.

ա) x²+ 5x + 7-x

բ) — 3x² + 1-x3

գ) 2x² — 3x + 5-x2

դ) 9x² — 15-x9

Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:

Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:

1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:

2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a²

Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:

1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:

Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a²

Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:

√x≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, լուծում չկա: 

2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a²]

√x≥a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա x∈[a²;+∞)

Օրինակ

Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:

1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0

2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)² < 3²

3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝

4) Լուծենք ստացված համակարգը՝

5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)

Առաջադրանքներ․

Լուծեք անհավասարումները․

Առաջադրանքներ․

Լուծեք անհավասարումները․

1)Լուծեք հավասարումը․