Рубрика: հանրահաշիվ

Տառային արտահայտությունում մեկ փոփոխականի առաջին կարգի բազմանդամ արտադրիչն անվանենք գծային արտադրիչ։ Օրինակ՝ (x − 2)(x − 5) արտահայտությունում x − 2 և x − 5 արտահայտությունները գծային արտադրիչներ
են, իսկ (x + 1)(x − 3) + 7-ում գծային արտադրիչ չկա։ Գծային արտադրիչներից կազմված տառային արտահայտության նշանը պարզելը հեշտ է։

Օրինակ 1
Պարզենք (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը, երբ x = 4:
Լուծում։
x − 2 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում դրական է, քանի որ 4 − 2 > 0:
x − 700 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է, քանի որ 4 − 700 < 0: Ուրեմն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է։

Պարզվում է, որ կարող ենք հեշտությամբ պարզել օրինակ 1-ի արտահայտության նշանը x-ի բոլոր արժեքների համար։ Նախ որոշենք, թե երբ է (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0։ Այն 0 է, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը 0 է, այսինքն՝ երբ x = 2 կամ x = 700: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը։ Այդ կետերով կոորդինատային առանցքը բաժանվում է երեք մասի՝ (−∞, 2), (2, 700) և (700,+∞): Այժմ դիտարկենք x կոորդինատով կետի հնարավոր դիրքերը։

1) x կոորդինատով կետը գտնվում է (700, +∞) միջակայքում՝ x ∈ (700,+∞): Այս դեպքում x-ը 2 և 700 կոորդինատներով կետերից աջ է, այսինքն՝ x − 2 և x − 700 արտահայտությունները դրական են։ Քանի որ դրական թվերի արտադրյալը դրական է, ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:

2)x ∈ (2, 700): Այդ միջակայքում գտնվող կետերը գտնվում են 2-ից աջ, 700-ից՝ ձախ։ Ուրեմն՝ x − 2 > 0 և x − 700 < 0: Փաստորեն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արտադրիչներից մեկը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։ Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) < 0:

3)x ∈ (−∞, 2): Այս դեպքում x-ը գտնվում է 2-ից և 700-ից ձախ՝ x − 2 < 0 և x − 700 < 0: Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:

Ամփոփենք.

1. (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0 է, երբ x = 2 կամ x = 700։
2. (−∞, 2) և (700, +∞) միջակայքերին պատկանող x-երի համար (x − 2)(x − 700)
   արտահայտության արժեքը դրական է։
3. x ∈ (2, 700) դեպքում՝ (x − 2)(x − 700) < 0:
   Այս ամենը կոորդինատային առանցքի վրա կարող ենք պատկերել սխեմատիկ.
4. Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը:
5. Յուրաքանչյուր միջակայքի վրա նշենք այդ միջակայքում
   (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը բնութագրող + կամ – նշանը։

(−∞, 2), (2, 700) և (700, +∞) միջակայքերը կոչվում են (x − 2)(x − 700) արտահայտության
նշանապահպանման միջակայքեր։ Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրում արտահայտության նշանը նույնն է։ Ինչպես տեսնում ենք, հարևան միջակայքերում արտահայտության նշանները տարբեր են։ Այդ օրինաչափությունը խախտվում է, երբ գծային արտադրիչներից որևէ մեկի ցուցիչը զույգ է։

Օրինակ 2
Պարզենք (x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում։
(x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության արժեքը 0 է դառնում, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը հավասարվում է 0-ի, այսինքն՝ x = −5, x = 1 և x = 3 դեպքերում: Կոորդինատային առանցքը −5, 1 և 3 կետերով բաժանվում է չորս միջակայքի՝ (−∞, −5), (−5, 1), (1, 3) և (3, +∞): Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրի համար կարող ենք հեշտությամբ որոշել արտահայտության նշանը։ Պարզվում է, որ (−5, 1) միջակայքում արտահայտությունը բացասական է, իսկ մնացած միջակայքերում՝ դրական։

Ինչպես տեսնում ենք, 3 կետից ձախ ու աջ միջակայքերում արտահայտության նշանը նույնն է։ Պատճառը x − 3 արտադրիչի ցուցիչի զույգ լինելն է։ (x − 3)² բացասական լինել չի կարող, ուստի չի ազդում արտահայտության նշանի վրա․ արտահայտության նշանը 3 կետից ձախ ու աջ նույնն է։ Գծային արտադրիչներից կազմված արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերի սխեմատիկ պատկերը կարող ենք գծել հետևյալ պարզ եղանակով.
• Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք բոլոր գծային արտադրիչների արմատները:
• Ընտրենք նշվածներից մեծ թիվ և այդ միջակայքում (ամենաաջ միջակայքում) պարզենք արտահայտության նշանը:
• Շարժվենք ձախ։ Ամեն անգամ առանցքի վրա նշված a կետից ձախ անցնելիս նայենք արտահայտության մեջ x − a արտադրիչի ցուցիչին։ Եթե այն կենտ է, ապա a-ից ձախ անցնելիս արտահայտության նշանը փոխվում է, իսկ եթե զույգ է՝ մնում է նույնը։
Եթե x − a արտադրիչի ցուցիչում ոչինչ գրված չէ, ուրեմն ցուցիչը 1 է՝ x − a = (x − a)¹
:

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում (նշված կետում)․

ա) (x − 1)(x − 34), x = 11

դրական

բ) (x − 3)(x − 0.7), x = 2.2

դրական

գ) (x + 2)(x − 7), x = 9

բացասակա

դ) (x − 4)(x − 9), x = 13

դրական

ե) (x + 5)(x − 8), x = −10

դրական

զ) (x − 5)(x + 10), x = 6

դրական

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.

ա) (x − 2)(x − 8)
x-2=0 x=2
x-8=0 x=8
(-∞;2)- U(2;8) U(8;∞)

բ) (x − √6)(x +√8 )`

x-

գ) (x − 10)(x − 100)

x-10=0 x=10

x-100=0 x=100

դ) (x + √15 )(x − 5 √2 )

ե) (x − 2√7  )(x + 2)

զ) (x − 3√6 )(x + 4)

3)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 2)(x − 5)(x − 6)

բ) (x − 1)(x + 2)(x + 3)

գ) (x − 1)(x − 2)(x + 3)

դ) (x − √5 )(x − 2)(x − 3)

ե) x(x − 1)(x + √6 )

զ) x(x − 2.5)(x − √6 )

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x + 2)(3x − 9)

բ) (4x − 20)(x +  3/7 )

գ) (6x − 5)(x + 3)

դ) (2x − 8)(3x + 21)

ե) (2x + 1/3 )(x − √11 )

զ) (x + 4)(3x − 7)

ԼՈՒԾՈՒՄ։ գ) (6x − 5)(x + 3)-ի արտահայտության առաջին արտադրիչից 6-ը ընդհանուր հանենք՝
(6x − 5)(x + 3) = 6(x − 5/6 )(x + 3)։ Նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, −3), (−3,  5/6) և
(5/6, +∞)։ Առաջին և երրորդ միջակայքերում դրական է, իսկ երկրորդում՝ բացասական։

Որոշել թվի նշանը՝ նշանակում է պարզել՝ այն դրակա՞ն է, բացասակա՞ն, թե՞ հավասար է 0-ի։ Արտահայտության նշան ասելով՝ նկատի ունենք այդ արտահայտության արժեքի նշանը։ Օրինակ՝ 3⋅(−5) արտահայտությունը բացասական է, իսկ (−2)⋅(−8)-ը՝ դրական։

Թվերի արտադրյալը զրո է, եթե արտադրիչներից գոնե մեկը
հավասար է զրոյի։
• 0-ից տարբեր թվերի արտադրյալը դրական է, եթե բացասական
արտադրիչների քանակը զույգ է։
• 0-ից տարբեր թվերի արտադրյալը բացասական է, եթե
բացասական արտադրիչների քանակը կենտ է։

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը․

1. + 3.- 5.- 7.+ 9.-

2.- 4.- 6.+ 8. +

2)Դրակա՞ն, թե՞ բացասական է արտահայտության արժեքը․

1.-

2.+

3.-

4.+

5.+

6.-

3)Ո՞ր բազմությունն է պատկերված գծագրում.

4)Գտե՛ք A և B բազմությունների միավորումն ու հատումը.

1)Լուծեք հավասարումը․

2)Լուծեք հավասարումը․

3)Լուծեք հավասարումը․

Մեկ տառային փոփոխական պարունակող երկրորդ կարգի բազմանդամը կոչվում է քառակուսային եռանդամ:
Քառակուսային եռանդամի գրառման ընդհանուր տեսքն է ax²+bx+c արտահայտությունը, որտեղ x-ը փոփոխականն է, իսկ a, b, c-ն տրված թվեր են (գործակիցներ), ընդ որում a ≠ 0:
ax-ն կոչվում է քառակուսային եռանդամի ավագ անդամ, իսկ a-ն ավագ անդամի գործակից:
bx-ը կոչվում է միջին անդամ, իսկ b-ն՝ միջին անդամի գործակից:
c-ն կոչվում է ազատ անդամ:
Քառակուսային եռանդամը բնութագրող կարևոր մեծություններից է տարբերիչը (դիսկրիմինանտը):

ax² + bx + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ/դիսկրիմինանտ կոչվում է b² — 4ac արտահայտության արժեքը:
Քառակուսային եռանդամի տարբերիչը նշանակում են D տառով՝ D = b²— 4ac:
Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում բազմանդամի արժեքը հավասար է 0-ի, կոչվում են բազմանդամի արմատներ: ax²+bx+c բազմանդամի արմատներ կոչվում են ax² + bx + c = 0 հավասարման լուծումները/արմատները։

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք, բազմանդամը քառակուսային եռանդա՞մ է, թե՞ ոչ.

ш) 3x² — 7x + 3+

ա) x² + y-

բ) (1 — x)(2x + 1)-

գ) 4x³ — 7x² + x+

դ) 3x+

2)Անվանե՛ք քառակուսային եռանդամի գործակիցները.

ա) x²+ 5x + 7-x

բ) — 3x² + 1-x3

գ) 2x² — 3x + 5-x2

դ) 9x² — 15-x9

Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:

Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:

1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:

2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a²

Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:

1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:

Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a²

Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:

√x≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, լուծում չկա: 

2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a²]

√x≥a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա x∈[a²;+∞)

Օրինակ

Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:

1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0

2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)² < 3²

3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝

4) Լուծենք ստացված համակարգը՝

5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)

Առաջադրանքներ․

Լուծեք անհավասարումները․

Առաջադրանքներ․

Լուծեք անհավասարումները․

1)Լուծեք հավասարումը․

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=3²: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ՝

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ 

(√2x−5)²=(√4x−7)²

2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ x-ի  փոխարեն տեղադրենք 1, կստանանք՝  √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունեն:

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատները: 

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Օրինակ՝

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)²=2²

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4

5x=20

x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Առաջադրանքներ․

1)Լուծել հավասարումները․

1)Հայտարարում ազատվեք արմատանշանից․

1.6

2.9

3.0

4.4x

5.8x

6.0

7.0

8.0

2)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը․

1)Հաշվե՛ք․

1.64

2.225

3.900

4.4900

5.400

6.810000

7.640000

8.25000000

2)Արտադրիչը տարեք արմատանշանի տակ`

արմատ2×2

արմատ-3×2

արմատ4×5

արմատ-10×5

արմատax4,a>0