Անհավասարումների համախումբը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի անհավասարումներից:
Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում համախմբի անհավասարումներից գոնե մեկը վերածվում է ճիշտ անհավասարության, կոչվում են անհավասարությունների համախմբի լուծումներ:
Գծային անհավասարումների համախումբը լուծելու համար, պետք է լուծել համախմբի յուրաքանչյուր անհավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների միավորումը: Դա էլ հենց կլինի համախմբի բոլոր լուծումների բազմությունը:
Օրինակ.
Լուծենք հետևյալ համախումբը՝
1. Լուծելով առաջին անհավասարումը, ստանում ենք՝
2x>4
x>2
2. Լուծելով երկրորդ անհավասարումը, ստանում ենք՝
3x<13
x<13/3
3. Ստացված միջակայքերը նշենք թվային առանցքի վրա:
Տվյալ համախմբի լուծումը կլինի ամբողջ թվային առանցքը՝ (−∞;+∞)։
Առաջադրանքներ․
1)Թվային բազմությունները պատկերե՛ք կոորդինատային առանցքի վրա և գտե՛ք նրանց միավորումը:
Գիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները.
Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ
Բազմությունների նշանակումներ
≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է)
[ և]քառակուսի փակագծեր
< կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ)
( և )կլոր փակագծեր
Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:
Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։
Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:
−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):
Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):
Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:
−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):
−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):
−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:
Առաջադրանքներ․
1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝
ա)[-3;1]
բ)(-3;1)
գ)[-3;1)
դ)(-3;1]
ե)[-2;3]
զ)(-2;3)
է)[-2;3)
ը)(-2;3]
2)Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա)[3;5]
բ)(3;5)
գ)[3;5)
դ)(3;5]
ե)[-2;+∞)
զ)(-2;+∞)
է)(-∞;-2)
ը)(-∞;-2]
3)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
ա)[-3;0]
բ)(-2;3)
գ)(-∞;-2]
դ)(-3;+∞)
ե)N
զ)Z
է)Q
ը)R
4)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝
ա)[0;+∞)
բ)(0;+∞)
գ)(-∞;1)
դ)(-∞;1]
5)Գրառեք նշանակումը և պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա)2-ից 4 փակ միջակայքի (հատվածի)
բ)2-ից 4 բաց միջակայքի
գ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 4-ը ներառած
դ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 2-ը ներառած
ե)5-ից +∞ միջակայքի
զ)5-ից +∞ կիսաբաց միջակայքի
է) -∞-ից 0 միջակայքի
ը) -∞-ից 0 կիսաբաց միջակայքի
6)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
ա)(0;1]
բ)[1;2]
գ)(-∞;2/3]
դ)(2/3;+∞)
ե)N
զ)Z
է)Q
ը)RԳիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները.
Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ
Բազմությունների նշանակումներ
≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է)
[ և]քառակուսի փակագծեր
< կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ)
( և )կլոր փակագծեր
Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:
Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։
Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:
−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):
Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):
Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:
−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):
−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):
−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:
Առաջադրանքներ․
1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝
ա)[-3;1]
բ)(-3;1)
գ)[-3;1)
դ)(-3;1]
ե)[-2;3]
զ)(-2;3)
է)[-2;3)
ը)(-2;3]
2)Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա)[3;5]
բ)(3;5)
գ)[3;5)
դ)(3;5]
ե)[-2;+∞)
զ)(-2;+∞)
է)(-∞;-2)
ը)(-∞;-2]
3)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
ա)[-3;0]
բ)(-2;3)
գ)(-∞;-2]
դ)(-3;+∞)
ե)N
զ)Z
է)Q
ը)R
4)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝
ա)[0;+∞)
բ)(0;+∞)
գ)(-∞;1)
դ)(-∞;1]
5)Գրառեք նշանակումը և պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա)2-ից 4 փակ միջակայքի (հատվածի)
բ)2-ից 4 բաց միջակայքի
գ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 4-ը ներառած
դ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 2-ը ներառած
ե)5-ից +∞ միջակայքի
զ)5-ից +∞ կիսաբաց միջակայքի
է) -∞-ից 0 միջակայքի
ը) -∞-ից 0 կիսաբաց միջակայքի
6)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
ա)(0;1]
բ)[1;2]
գ)(-∞;2/3]
դ)(2/3;+∞)
ե)N
զ)Z
է)Q
ը)RԳիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները.
Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ
Բազմությունների նշանակումներ
≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է)
[ և]քառակուսի փակագծեր
< կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ)
( և )կլոր փակագծեր
Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:
Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։
Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:
−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):
Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):
Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:
−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):
−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):
−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:
Առաջադրանքներ․
1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝
ա)[-3;1]=
բ)(-3;1)=
գ)[-3;1)=
դ)(-3;1]=
ե)[-2;3]=
զ)(-2;3)=
է)[-2;3)
ը)(-2;3]
2)Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա)[3;5]-3,4,5
բ)(3;5)-4
գ)[3;5)-34,
դ)(3;5]-4,5
ե)[-2;+∞)-2+
զ)(-2;+∞)
է)(-∞;-2)
ը)(-∞;-2]+2
3)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
ա)-2∈[-3;0]
բ)-2∈(-2;3)
գ)-2∈(-∞;-2]
դ)-2(-3;+∞)
ե)N
զ)Z
է)Q
ը)R
4)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝
ա)[0;+∞)
բ)(0;+∞)
գ)(-∞;1)
դ)(-∞;1]
5)Գրառեք նշանակումը և պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա)2-ից 4 փակ միջակայքի (հատվածի)
բ)2-ից 4 բաց միջակայքի
գ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 4-ը ներառած
դ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 2-ը ներառած
ե)5-ից +∞ միջակայքի
զ)5-ից +∞ կիսաբաց միջակայքի
է) -∞-ից 0 միջակայքի
ը) -∞-ից 0 կիսաբաց միջակայքի
6)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
1 -ին կանոն: Ցանկացած երկու a և b իրարից տարբեր իրական թվերից մեկը մյուսից մեծ է: Այսինքն, ցանկացած a և b իրական թվերի համար տեղի ունի հետևյալ առնչություններից միայն մեկը՝a=b,a>b,a<b
Օրինակ․
10 և 15 թվերի համար ճիշտ է 10<15 անհավասարությունը, և սխալ են մյուս երկու առնչությունները՝ 10=15 և 10>15
2 -րդ կանոն: Ցանկացած երկու a և b իրարից տարբեր իրական թվերի միջև կա երրորդ թիվը: Այսինքն` եթե a<b, ապա գոյություն ունի այնպիսի c թիվ, որ տեղի ունի հետևյալ երկկողմանի անհավասարությունը՝ a<c<b
Օրինակ․
1.4 և 1.5 թվերի համար գոյություն ունի, օրինակ, 1.44 թիվը, այնպես, որ տեղի ունի հետևյալ երկկողմանի անհավասարությունը՝ 1.4<1.44<1.5
3 -րդ կանոն: Ցանկացած երեք a, b և c իրական թվերի համար, եթե a<b և b<c, ապա a<c:
Այս հատկությունը կոչվում է անհավասարությունների փոխանցելիության (տրանզիտիվության) հատկություն: Թվային առանցքի վրա կարելի է պատկերել այսպես:
Օրինակ․
10/11<1 և 1<6/5 անհավասարություններից բխում է 10/11<6/5 անհավասարությունը:
Թվի գումարումը և թվով բազմապատկումը ՝
1 -ին հատկություն: Եթե a>b, ապա a+c>b+c
Եթե անհավասարության երկու մասերին գումարել կամ հանել միևնույն թիվը, ապա անհավասարության նշանը չի փոխվի:
Օրինակ․
3<12 ճիշտ անհավասարության երկու մասերին գումարելով −2 թիվը, կստանանք ճիշտ անհավասարություն՝ 1<10
2 -րդ հատկություն: Եթե a>b և k>0, ապա ak>bk
Եթե անհավասարության երկու մասերը բազմապատկել միևնույն դրական թվով, ապա անհավասարության նշանը չի փոխվի:
Օրինակ․
Գիտենք, որ 17,2<x<17,3: Գնահատենք 2x -ը:
Կրկնակի անհավասարությունը դրական 2 թվով բազմապատկելիս ստացվում է միանուն անհավասարություն (նշանները չեն փոխվում):
17,2⋅2<x⋅2<17,3⋅2
34,4<2x<34,6
3 -րդ հատկություն: Եթե a>b և k<0, ապա ak<bk
Եթե անհավասարության երկու մասերը բազմապատկել միևնույն բացասական թվով, ապա անհավասարության նշանը կփոխվի:
Օրինակ․
Հայտնի է, որ 17,2<x<17,3: Գնահատենք −2x-ը:
Կրկնակի անհավասարությունը բացասական −2 թվով բազմապատկելիս ստացվում է հականուն անհավասարություն (նշանները փոխվում են):
17,2⋅(−2)<x⋅(−2)<17,3⋅(−2)
−34,4>−2x>−34,6
−34,6<−2x<−34,4
Անհավասարումների գումարումն ու հանումը.
Եթե a>b և c>d, ապա a+c>b+d
Միանուն անհավասարությունները կարելի է գումարել:
Դիտարկենք երկու օրինակ:
Օրինակ`
1. Գիտենք, որ 1,2<x<1,3 և 17<y<18
Գնահատենք x+y -ը:
Եթե միանուն անհավասարությունները գումարել, ապա նշանները չեն փոխվի:
2. Գիտենք, որ 1,2<x<1,3 և 17<y<18
Գնահատենք x−y -ը:
Բազմապատկենք 17<y<18 կրկնակի անհավասարությունը −1 -ով, և փոխենք անհավասարության նշանները՝
Գումարելով առաջին անհավասարությունը ստացվածի հետ, ստանում ենք՝
Միանուն անհավասարությունների բազմապատկումը.
Եթե a−ն,b−ն,c−ն,d−ն դրական թվեր են և a>b,c>d, ապա ac>bd
Եթե դրական ձախ և աջ մասերով միանուն անհավասարումները բազմապատկել, ապա կստացվի միանուն անհավասարություն (նշանը չի փոխվի):
Դիտարկենք երկու օրինակ:
Օրինակ
1. Գիտենք, որ x<5 և y<11
Գնահատենք xy -ը:
Բազմապատկելով միանուն անհավասարությունները, ստանում ենք՝
2. Գիտենք, որ 1,2<x<1,3 և 2<y<3
Գնահատենք՝ xy -ը:
Բազմապատկելով միանուն անհավասարությունները, ստանում ենք միանուն անհավասարություն (նշանները չեն փոխվում)՝
Անհավասարության աստիճան բարձրացնելը.
Եթե a և b թվերը դրական են a<b, ապա an<bn, որտեղ n -ը բնական թիվ է: Եթե դրական ձախ և աջ մասերով միանուն անհավասարումները բարձրացնել միևնույն բնական աստիճանի, ապա կստացվի միանուն անհավասարություն (նշանը չի փոխվի):
Օրինակ
1. Քանի, որ 2<3, ապա քառակուսի բարձրացնելով, ստանում ենք ևս մեկ ճիշտ անհավասարություն՝
22=4, 32=9
4<9
Առաջադրանքներ․
1)Նշեք նշված թվերից մեկից մեծ և մյուսից փոքր թիվ։ Պատասխանը գրեք կրկնակի անհավասարության տեսքով` ա) 3 և 5;3>4>5
բ)-25 և-29;-25>-28>-29
գ) 2,4 և 2,404;2,4>2,5>2,404
դ) 2,5 և 2,6;2,5>2,55>2,6
ե)-3,71 և -3,72;
զ) -0,501 և 0,6:
2)Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք նոր ճշմարիտ անհավասարություն՝ գումարելով նրա երկու մասերին միևնույն թիվը՝ ա) 15 < 20 բ) 1,1 < 1,2 գ) 5 > 4 դ) 1,3 ≥ 1,2 ե) 2,5 < 3 ; զ) 5 ≤ 6
3)Երկու ճշմարիտ անհավասարությունների հիման վրա կատարեք եզրակացություն։ Օրինակ 3 < 15 և 15 < 20, նշանակում է 3 < 20 : ա)-5 < 0 և 0 < 2 ; բ) 2 > 1 և 1 > 0 գ) -3,7 > -4 և — 4 > — 7 դ)-2 < 0 և 0 < 2 ե) 2,(1) > 2 և 2 > 1,(6) զ) 0,(5) < 0,(6) և 0,(6) < 0,(67)
4)Բազմապատկեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները` ա) 14 > 10 և 2 > 1 բ) 5 > 3 և 6 > 5 գ) 6 < 7 և 2 < 3 դ) 8 < 9 և 1 < 2
5)Գումարեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները՝
ա)14 > 11 և 10 > 9
բ)-2 > -3 և 3 > 2
գ)-6 < -5 և 2 < 3
դ)-8 < 0 և 8 < 9
6)Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք ճշմարիտ անհավասարություն, որում յուրաքանչյուր թիվ փոխարինված է իր հակադիրով։
Մանվել Դավթյան 