Առաջադրանքներ․
1)Պարզեք՝ (-3;1) թվազույգը համակարգի լուծու՞մ է․
1)-3+1-3=-5 ոչ
2)-6-3-1=0 այո
1.-3-1+4=0 այո
2.-9+4+5=0 այո
2)Ցույց տվեք, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ․
1)-4x-1+5=0 այո
2)-2+1-3=0 այո
1)-4x+5y-1=0 այո
2)-6x-4=0 ոչ
3)a-ի և b-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում (1;0) թվազույգը համակարգի լուծում է․
Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝
{a1x+b1y+c1=0
{a2x+b2y+c2=0
(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:
Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:
Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:
Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:
Օրինակ՝
1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:
{x+2y−5=0,
{2x+4y+3=0
x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:
Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝
| x | 5 | 0 |
| y | 0 | 2,5 |
xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:
2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է:
Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝
| x | −1,5 | 2,5 |
| y | 0 | −2 |
xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:
l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:
Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:
Օրինակ՝
2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:
{2x−y−5=0,
{2x+y−7=0
Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7
y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:
Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝
| x | 0 | 3 |
| y | −5 | 1 |
xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:
y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:
Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝
| x | 0 | 1 |
| y | 7 | 5 |
xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:
l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:
Պատասխան՝ (3;1)
Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:
Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:
Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:
1. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են հատվել մեկ կետում: Այդ կետի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:
2. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են լինել զուգահեռ և չհատվել: Այս դեպքում համակարգը լուծում չունի:
3. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են համընկնել: Այս դեպքում համակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ:
Առաջադրանքներ․
Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․
1)
x=0 y=-4
x=1y=-2
x=0y=-2
(2,0)
2)
x=0y=2
x=1y=1
x=1y=2
x=0y=3
3)
4)
5)
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․
Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․
1)
2)
3)
4)
Օրինակ (հնագույն) Հանդիպեցին երկու հովիվ՝ Հովհաննեսը և Պետրոսը: Հովհաննեսն ասում է Պետրոսին. «Տուր ինձ մի ոչխար, և ինձ մոտ կլինի երկու անգամ ավելի ոչխար, քան քեզ մոտ»: Իսկ Պետրոսը նրան պատասխանում է. «Ոչ, ավելի լավ է դու տուր ինձ մի ոչխար, և մեզ մոտ կլինեն հավասար թվով ոչխարներ»: Քանի՞ ոչխար ուներ նրանցից յուրաքանչյուրը:
Լուծում: Դիցուք Հովհաննեսն ուներ x ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ y ոչխար: Եթե Պետրոսը Հովհաննեսին տար մեկ ոչխար, ապա Պետրոսի մոտ կմնար (y-1) ոչխար, իսկ Հովհաննեսի մոտ կլիներ (x+1) ոչխար:
Բայց այդ դեպքում Հովհաննեսի մոտ երկու անգամ շատ ոչխար կլիներ, քան Պետրոսի մոտ: Հետևաբար
x+1=2(y-1):
Իսկ եթե Հովհաննեսը Պետրոսին մեկ ոչխար տար, ապա Հովհաննեսի մոտ կմնար (x-1) ոչխար, իսկ Պետրոսի մոտ կդառնար (y+1) ոչխար: Բայց այդ դեպքում նրանք կունենային հավասար թվով ոչխարներ: Հետևաբար
x-1=y+1:
Այս երկու հավասարումներից կազմենք համակարգ՝
Համակարգն էլ լուծելով մեզ արդեն ծանոթ տեղադրման կամ գումարման եղանակով՝ կստանանք, որ x=7; y=5: Այսպիսով, Հովհաննեսն ունի 7 ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ 5 ոչխար:
Առաջադրանքներ․
1)
ա) Երկու թվերի գումարը 10 է, իսկ տարբերությունը՝ 4: Գտեք այդ թվերը:
{x+y=10
{x-y=4
10+4=14
=>x=7
7+3=10
=>y=3
բ) Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9: Գտեք այդ թվերը:
{x+y=21
{x-y=9
21+9=30
=>x=15
15+6=21
=>6
2) Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 44: Գտեք այդ թվերը:
x=2y
4y+2x=44
8y=44
y=5.5
5.5×4=22
22:12=11
x=11
3) Տրված են երկու թվեր։ Եթե առաջին թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 1-ով մեծ կլինի երկրորդից, իսկ եթե երկրորդ թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 7-ով մեծ կլինի առաջինից։ Գտեք այդ թվերը։
2x=1+y
2y=7+y
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․
1)
ա) Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից: Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի: Գտեք այդ թվերը:
40:2=20
20-6=14
x=20
y=14
բ) Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է:
23:2=11.5
11.5+15=26.5
x=11.5
y=26.5
2) Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից: Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 31: Գտեք այդ թվերը:
x=7y
y2+x6=8
7y=8
Լուծեք հավասարումների համակարգը․
2x+4y-6=0
2x-3y+8=0
7y-14=0
7y=14
y=2
x+4-3=0
x=-1
8x+4y-32=0
3x+4y-7=0
5x-25=0
5x=25
x=5
10+y-8=0
y-2
Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման գումարման (գործակիցների հավասարեցման) եղանակի ալգորիթմը:
1. Հավասարեցնել (եթե անհրաժեշտ է) փոփոխականներից մեկի գործակիցների մոդուլները:
2. Գումարել կամ հանել հավասարումները: Լուծել ստացված մեկ փոփոխականով հավասարումը և գտնել անհայտներից մեկը:
3. Երկրորդ քայլում գտած արժեքը տեղադրել հավասարումներից որևէ մեկի մեջ և գտնել համակարգի երկրորդ փոփոխականի արժեքը:
4. Գրել պատասխանը:
Օրինակ՝ Լուծել հավասարումների համակարգը՝
Գումարենք հավասարումները՝
x-ի գտած արժեքը տեղադրենք հավասարումներից որևէ մեկի մեջ, օրինակ՝ երկրորդի և գտնենք y-ը՝
Առաջադրանքներ․
Լուծեք հավասարումների համակարգը․
1)
y-4=0
y=4
x+4+1=0
x+5=0
x=-5
2)
x-5=0
x=5
20+y-2=0
y=-18
3)
y-7=0
y=7
x-7=0
x=7
4)
Առաջադրանքներ․
y=11-2x
3x-11+2x=9
5x=20
y=11-8=3
y=5-2y
10-4y+y=-5
-5y
Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման տեղադրման եղանակի ալգորիթմը:
1. Համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից (սովորաբար ավելի պարզից) արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսի միջոցով, օրինակ՝ առաջին հավասարումից արտահայտել x-ը y-ի միջոցով:
2. Ստացված արտահայտությունը տեղադրել մյուս (երկրորդ) հավասարման մեջ, օրինակ՝ x-ի փոխարեն:
3. Լուծել մեկ անհայտով հավասարումը, օրինակ՝ y-ի նկատմամբ (գտնել y-ը ),
4. Երրորդ քայլում գտնված y-ի արժեքը տեղադրել y-ի փոխարեն՝ առաջին քայլում ստացված հավասարման մեջ և գտնել x-ը:
5. Գրել պատասխանը:
Օրինակ
Լուծել հավասարումների համակարգը՝
1) Առաջին հավասարումից ստանում ենք՝
x−2y=3
x=3+2y
2) Ստացված արտահայտությունը տեղադրում ենք երկրորդ հավասարման մեջ՝ x-ի փոխարեն՝
5⋅x+y=4
5⋅(3+2y)+y=4
3) Լուծենք ստացված հավասարումը և գտնենք y-ը՝
5⋅(3+2y)+y=4
15+10y+y=4
10y+y=4−15
11y=−11
y=−1
4) Տեղադրենք y-ի գտնված արժեքը առաջին քայլում ստացած հավասարման մեջ՝ y-ի փոխարեն և գտնենք x-ը՝
x=3+2⋅y
x=3+2⋅(−1)
x=3−2
x=1
5) Պատասխան՝ (1;−1)
Առաջադրանքներ․
1)
x=2y
2.2y-3y-7=0
4y-3y-7=0
y=7
2)
x=-5y
-5y.3+7y-16=0
-15y+7y-16=0
-8y=16
y=-7
3)
y=3x
x-6x+10=0
-5x=-10
x=2
4)
Առաջադրանքներ․
1)Պարզեք՝ (-3;1) թվազույգը համակարգի լուծու՞մ է․
1)-3+1-3=-5 ոչ
2)-6-3-1=0 այո
1.-3-1+4=0 այո
2.-9+4+5=0 այո
2)Ցույց տվեք, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ․
1)-4x-1+5=0 այո
2)-2+1-3=0 այո
1)-4x+5y-1=0 այո
2)-6x-4=0 ոչ
3)a-ի և b-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում (1;0) թվազույգը համակարգի լուծում է․
1.Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․
4x-y+3=0
y=3+4x
x-3y+6=0
3y=6+x
3x+y-2=0
y=3x+2
3x+2y-5=0
2y=
2.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝
ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 20:
x+y=20
բ)3 կոնֆետը և 4 թխվածքաբլիթը միասին արժեն 1800 դրամ։
3x+4y=1800
3.b-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (-1,-4) թվազույգը bx-7y-3=0 հավասարման լուծում է։
-4x-7y-3=0
Առաջադրանքներ․
1.Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․
x+y=5
y=5-x
2x-y=3
Y=3-2
x+y-5=0
y=5-x
2x-y+2=0
Y=2-2
3x+5y=8
Y=(8-3x):5=
-3x+2y=7
Y=(7+3x):2=
2.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝
ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 10:
x+y=10
բ)2լ կաթը և 3 բատոն հացը միասին արժեն 990 դրամ։
2x+3y=990
3.a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (3,-2) թվազույգը 3x-ay-4=0 հավասարման լուծում է։
6x-2ay-4=0
Մանվել Դավթյան 