Առաջադրանքներ․
1)Պարզեք՝ (-3;1) թվազույգը համակարգի լուծու՞մ է․
1)-3+1-3=-5 ոչ
2)-6-3-1=0 այո
1.-3-1+4=0 այո
2.-9+4+5=0 այո
2)Ցույց տվեք, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ․
1)-4x-1+5=0 այո
2)-2+1-3=0 այո
1)-4x+5y-1=0 այո
2)-6x-4=0 ոչ
3)a-ի և b-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում (1;0) թվազույգը համակարգի լուծում է․
1.Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․
4x-y+3=0
y=3+4x
x-3y+6=0
3y=6+x
3x+y-2=0
y=3x+2
3x+2y-5=0
2y=
2.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝
ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 20:
x+y=20
բ)3 կոնֆետը և 4 թխվածքաբլիթը միասին արժեն 1800 դրամ։
3x+4y=1800
3.b-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (-1,-4) թվազույգը bx-7y-3=0 հավասարման լուծում է։
-4x-7y-3=0
Առաջադրանքներ․
1.Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․
x+y=5
y=5-x
2x-y=3
Y=3-2
x+y-5=0
y=5-x
2x-y+2=0
Y=2-2
3x+5y=8
Y=(8-3x):5=
-3x+2y=7
Y=(7+3x):2=
2.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝
ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 10:
x+y=10
բ)2լ կաթը և 3 բատոն հացը միասին արժեն 990 դրամ։
2x+3y=990
3.a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (3,-2) թվազույգը 3x-ay-4=0 հավասարման լուծում է։
6x-2ay-4=0
1)Տրված a, b և c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում․
ա)a = 5, b = 4, c = -2
բ)a = 0, b = -3, c = 4
գ)a = 0, b = 2, c = -1
դ)a = -5, b = -1, c = 0
2)(1, 3) թվազույգը հավասարման լուծո՞ւմ է․
ա)2x — 3y + 5 = 0(-)
բ)-x + y — 2 = 0(+)
գ)x — y — 6 = 0(-)
դ)7x — 3,2y + 4= 0(-)
ե)x + 2y — 7 = 0(+)
զ)4x — 7y + 21 = 0(-)
Ցո՛ւյց տվեք, որ (2; 1) թվազույգը 2x — 6y = -2 հավասարման լուծում է, իսկ (1, 2) թվազույգը՝ ոչ։
4x — 6y = -2(+)
2x-12=-2(-)
ax+by+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a−ն,b−ն,c−ն թվեր են (գործակիցներ), կոչվում է x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարում: a և b թվերը կոչվում են անհայտների գործակիցներ, իսկ c-ն՝ ազատ անդամ:
ax+by+c=0 հավասարման լուծում անվանում են ցանկացած (x;y) թվազույգ, որը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը, այսինքն՝ հավասարման մեջ տեղադրելիս այն վերածում է ճիշտ թվային հավասարության:
Օրինակ՝
x+y−3=0 երկու անհայտով գծային հավասարման լուծումներ կարող են լինել (3;0),(2;1),(1;2),(0;3),(4;−1) թվազույգերը։
Առաջադրանքներ․
1)Գրե՛ք անհայտների գործակիցները և ազատ անդամը․
ա)3x — y + 5 = 0
գործակիցներ3,-1
ազատ անդամ-5
բ)2x — 5y — 1 =0
գործակից2,-5
ազատ անդդամ-1
գ)2x + 3y — 1 = 0
գործակից2,3
ապատ անդամ-1
դ)4x — 7y -4 = 0
գործակից4,-7
ազատ անդամ-4
2)Ցույց տվեք, որ (1; -1), (5; -7), (-3; 5) թվազույգերը 3x + 2y — 1 = 0 հավասարման լուծումներ են։
3-2-1=0
15-14-1=0
-9+10-1=0
3)Հետևյալ թվազույգերը 2x — y + 4 = 0 հավասարման լուծումնե՞ր են․
ա)(1; -2)=2-2+4=0
բ)(0; 4)0-4+4=0
գ)(-2; 1)-4-1+4=0
դ)(3; 4)
ե)(5; 0)
զ)(-2; 0)
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).
1)Արտահայտությունը բերե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքի.
ա) (x + y)( x2 − xy + y2) =x3+y3
բ) (2m + n)(4m2 − 2mn + n2) =8m3+n3
գ) (3a + b)(9a2 − 3ab + b2) =24a3+b3
ե) (b + 5)(25 − 5b + b2) =253+253
դ) (a + 2)(a2 − 2a + 4) =a3+83
զ) (1 + x2)( x4 + 1 − x2) =13+x3
2)Բազմանդամը ներկայացրե՛ք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալի
տեսքով.
ա) x2 + 4x =
բ) x3 + x2y + 3xy3 =
գ) x4 y3 + 4x2 y7 − 11x5 y 4 =
դ) a3 b + a 2 b2 + ab3 =
ե) a2 + 3a4 =
զ) 16k4m2 − 4k3m3 =
1)Արտահայտությունը գրե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքով.
ա) (x + y )2 =x2+2xy+y2
բ) (2a + 5 )2 =4a+20a+25
գ) (2c + 4d2 )2 =4c+12cd+16d4
դ) (7t + 3s3 )2 =49t+20ts+9s2
2)Արտահայտությունը գրե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքով.
ա) (a + b)(a − b)=a2-b2
բ) (3 x2 + 5)(3 x2 − 5)=3x4-52
գ) (4x − y)(4x + y) =8x2-y2
դ) (11a − 5b)(5b + 11a) =22a2-10b2
3)Բազմանդամը վերլուծե՛ք արտադրիչների.
ա) a3 − b3 =(a-b)(a2+ab+b2)
բ) b3 − 125 =(b-5)(b+5b+25)
գ) 27a3 − 8b3 =(3a-2b)(9a2+5ab+4b2)
դ) c3 − 27 =(c-3)(c2+3c+92)
Լուկա Պացիոլին ծնվել է 1445 թվականին:Մահացել է 1517 թվականին:
Լուկա Պացիոլին մաթեմատիկայում
1494 թվականին Պաչոլին հրապարակում է իր «Թվաբանության, երկրաչափության, հարաբերությունների ու մասնաբաժինների գումար» (իտալ.՝ «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità») մաթեմատիկակակն աշխատությունը, որը նվիրված էր դուքս Գվիդոբալդո դա Մոնտեֆելտրո Ուրբինացուն։ Այդ աշխատությունում տրվում են ամբողջ և կոտորակային թվերի հետ թվաբանական գործողությունների կանոններն ու օրենքները, մասնաբաժինները, բարդ տոկոսի խնդիրներ, գծային, քառակուսային և որոշ տեսակների երկքառակուսային հավասումների լուծումներ։ Հարկ է նշել, որ գիրքը գրված էր ոչ թե այդ ժամանակ գիտական աշխատությունների համար սովորաբար օգտագործվող լատիներենով, այլ՝ իտալերենով։
«Գումար»-ի թվաբանական մասում շարադրված են թվաբանական գործողությունների կատարման եղանակներ։ Այս հատվածը հիմնված է մեծաթիվ «Աբակի գրքերի» վրա, որոնք պատկանում են տարբեր հեղինակների։ Հանրահաշվական առաջադրանքները, որոնց լուծումները շարադրված են «Գումար»-ում, չեն ներառում այն գծային ու քառակուսային հավասարումները, որոնց լուծումները տրված են արաբական «հանրահաշվի ու ալմուկաբալի» աշխատություններում։ Եվրոպայում այս առաջադրանքները հայտնի էին Լեոնարդո Պիզանոյի (1180—1240) «Աբակի գրքից»։ Հետագայում այլ մաթեմատիկոսներին հետաքրքրող առաջադրանքներից կարելի է հատկապես առանձնացնել չավարտված խաղի խաղադրույքների ճիշտ բաժանման մասին խնդիրը, որը ինքը՝ Պաչոլին, ճիշտ չէր լուծել։ Հավանաբար, այս խնդրի վերաբերյալ Պաչոլիի մեծագույն հավելումը սինկոպավոր հանրահաշվական գրառման կիրառումն էր՝ սիմվոլիկ հաշվման ինքնատիպ նախահայրը։ Գիրքը պարունակում է Իտալիայի տարբեր մասերում ընդունված մետաղադրամների, քաշերի ու չափերի աղյուսակ, նաև վենետիկյան կրկնակի հաշվապահության ղեկավարման համակարգ։ Ինչ վերաբերում է «Գումար»-ի երկրաչափական մասին, այն ամբողջությամբ հետևում է Լեոնարդո Պիզանոյի «Պրակտիկ երկրաչափություն»-ից։
1.Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի․
(x−30)2 =x2 +60x+900
(2a+b)2 =4a2+4ab+b2
(m2n+nm2)2 =m4+n2+2mn+n2
2.Հավասարության մեջ ի՞նչ թիվ պետք է լինի բազմակետերի փոխարեն.
(7y−5)(7y+5)= 49y2−25
(6x−5)(6x+5)=36x2−25
3.Ընտրիր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:
Աստիճան բարձրացնելիս՝ (b+3)2 ստացվում է՝
4.Պարզեցրեք արտահայտությունը․
(a + 1)² — 2(a + 1) + 1 =a2+2a+1-2a-2+1=a2+4a+2+1
(x + 2y)² + 2(x² — 4y²) + (2y — x)² =
5.Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների․
4a² + 4a + 1 =(2a+1)2
9m² — 6m + 1 =(3m+1)2
a² — 2a + 1 =(a+1)2
-6a +a² + 9 =(3a+9)2
1)Տրված պատկերի գագաթները նշանակեք տառերով և գրեք դրանց կոորդինատները։
Մանվել Դավթյան 