Рубрика: հանրահաշիվ

Երկու մեծություններ կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը մեծանում է (փոքրանում է) նույնքան անգամ:

Դիցուք մեկ գրիչն արժե 100 դրամ: Ապա երկու գրիչները կարժենան 200 դրամ, երեք գրիչները կարժենան 300 դրամ և այլն: Ստանում ենք հետևյալ աղյուսակը՝

Գրիչների քանակը (հատ)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Գրիչների արժեքը (դրամ)	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000

Նկատում ենք, որ գրիչների քանակը մի քանի անգամ ավելացնելիս դրանց արժեքն ավելանում է նույնքան անգամ: Սա նշանակում է, որ գրիչների արժեքն ուղիղ համեմատական է դրանց քանակին:

Երկու մեծություններ կոչվում են հակադարձ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս մյուսը նույնքան անգամ փոքրանում է:

Օրինակ․

Դիցուք մեքենան հավասարաչափ շարժվելով պիտի անցնի 600 կիլոմետր: Եթե նա շարժվի 60 կմ/ժ արագությամբ, ապա այդ ճանապարհը նա կանցնի 10 ժամում: Իսկ եթե նա ավելացնի արագությունը և շարժվի 100 կմ/ժ արագությամբ, ապա ժամանակը կպակասի և այդ ճանապարհը նա կանցնի 6 ժամում: 

Կազմենք հետևյալ աղյուսակը՝

Ծախսած ժամանակը (ժամ)	20	10	5
Արագությունը (կմ/ժ)	30	60	120

Աղյուսակից երևում է, որ արագությունը երկու անգամ մեծացնելիս ժամանակը երկու անգամ պակասում է: Սա նշանակում է, որ մեքենայի արագությունը և ծախսած ժամանակը հակադարձ համեմատական մեծություններ են:

Առաջադրանքներ․

1)Գնացքը հաստատուն արագությամբ 6 ժամում անցավ 480 կմ։ Քանի՞ կմ էր անցել գնացքն առաջին 2 ժամում։

6/480=2/x

X=480×6:2=1440

2)100 գ լուծույթը պարունակում է 4 գ աղ։ Որքա՞ն աղ է պարունակում 300 գ այդպիսի լուծույթը։

100/4=300/x

3)Երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունն առաջին գնացքն անցավ 3 ժամում 80 կմ/ժ արագությամբ։ Քանի՞ ժամում երկրորդ գնացքը կանցնի նույն հեռավորությունը 60 կմ/ժ արագությամբ։

80/3=60/x

3×60:80=

4)8 մ մահուդն արժե այնքան, որքան 63 մ չիթը։ Քանի՞ մետր չիթ կարելի է գնել 14 մ մահուդի փոխարեն։

8/63=14/x

63×14:8=

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Բալի մուրաբա եփելու համար 6 կգ մրգի հետ վերցնում են 4 կգ շաքարավազ։ Քանի՞ կգ շաքարավազ պետք է վերցնել 12 կգ մրգի դեպքում։

6կգ․ միրգ-4կգ․ շաքարավազ

12կգ․ միրգ-xկգ․շաքարավաղ

6/12=4/x

12×4:6=8

6/12=4/8

Պատ․՝8կգ․

Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:

Թեորեմ: Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

Պետք է ապացուցել, որ AC և BC հատվածները հավասար են: Դրանում կարելի է համոզվել, եթե ապացուցեք, որ հավասար են BEC և AEC ուղղանկյուն եռանկյունները:

Ըստ միջնուղղահայացի սահմանման՝ E անկյունը ուղիղ է և AE=BE: Քանի որ CE-ն ընդհանուր կողմ է, ապա դիտարկվող եռանկյունները հավասար են՝ ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի (երկու կողմեր և դրանցով կազմված անկյուններ):

Հետևաբար, հավասար են նաև եռանկյունների ներքնաձիգները:

Անկյան կիսորդի հատկությունը․

Թեորեմ: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:

Ապացուցենք այս թեորեմը: Նայիր վերևի նկարին:

Կիսորդով առաջացած եռանկյունների անկյունները համապատասխանաբար հավասար են: Իրոք, մի զույգի անկյունները հավասար են՝ ըստ կիսորդի սահմանման, մյուս զույգի անկյունները 90 աստիճան են (կետի հեռավորությունները ուղիղներից): Հետևաբար, հավասար է նաև երրորդ զույգի անկյունները (անկյունների գումարը պետք է 180° լինի):

Քանի որ դիտարկվող ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգը ընդհանուր է (կիսորդի վրա գտնվող կողմը), ապա եռանկյունները հավասար են` ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի (կողմ և առընթեր երկու անկյուններ): Հետևաբար, հավասար են նաև համապատասխան էջերը:

Առաջադրանքներ․

1)Geogebra ծրագրով գծեք եռանկյուն, տարեք կողմերի միջնուղղահայացները։

2)Geogebra ծրագրով գծեք եռանկյուն, տարեք անկյունների կիսորդները։

3)Հայտնի է, որ ABC եռանկյան AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը գտնվում է ABC եռանկյան AC կողմի վրա: Որոշիր այն հատվածների երկարությունները, որոնց D կետով բաժանվում է AC հատվածը, եթե AC=60 սմ:

4)T կետից ուղղին տարված են TP ուղղահայացը և TR թեքը:

Որոշիր T կետի հեռավորությունը ուղղից, եթե ուղղահայացի և թեքի երկարությունների գումարը 31 սմ է, իսկ դրանց տարբերությունը՝ 1 սմ:

31-1=30

5)ABC եռանկյան BC կողմի միջնուղղահայացը հատում է AC կողմը D կետում: Գտիր AD և DC հատվածների երկարությունները, եթե BD=54 սմ և AC=72 սմ:

54:2=27

72:2=36

36+27=63

Զուգահեռ ուղիղների հատկությունը․

Երկու զուգահեռ ուղիղներից յուրաքանչյուրի բոլոր կետերը հավասարահեռ են մյուս ուղղից։

Հետևաբար, երկու զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը որոշվում է ուղիղներից մեկի ցանկացած կետից մյուս ուղղին տարված ուղղահայացով:

Զուգահեռ ուղիղներից մեկի կամայական կետի հեռավորությունը մյուս ուղղից կոչվում է զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորություն:

Առաջադրանքներ․

1)a և b զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը 3 սմ է, իսկ a և c զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը՝ 5 սմ։ Գտեք b և c ուղիղների հեռավորությունը։

2)5+3=8

3)5-3=2

2)AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին։ Գտեք այդ ուղիղների հեռավորությունը, եթե <ADC = 30^o, AD = 6 սմ։

6:2=3

3)Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 17 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 1 սմ։ Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից։

8և9

8+9=17

9-8=1

1)Լուծե՛ք հավասարումը․

3x-x=8

2x=8

X=4

2x-3x+2=5

-x=3

X=-3

(2x+5)+(3x-8)=7

2x+5+3x-8=7

5x=10

X=2

(2x-3)-(x+1)=1

2x-3-x-1=1

X=5

(x+2)7=7

X+2=1

x=-1

2)Երեք դպրոցներում միասին կա 3230 աշակերտ։ Երկրորդ դպրոցի աշակերտների թիվը 420-ով ավելի է առաջին դպրոցի աշակերտների թվից, իսկ երրորդ դպրոցի աշակերտների թիվը 350-ով ավելի է առաջին դպրոցի աշակերտների թվից։ Քանի՞ աշակերտ կա յուրաքանչյուր դպրոցում։420+350=770

3230-770=2,460

3)Եռանկյան պարագիծը 70 սմ է։ Որոշեք եռանկյան կողմերը, եթե նրա առաջին կողմը երեք անգամ մեծ է երկրորդից և 7 սմ-ով մեծ է երրորդ կողմից։

3x+x+3x-7=70

7x=77

x=11 2 կողմ

1 կողմ 33

33-7ժ

1)Լուծե՛ք հավասարումը․

3x-x=8

2x=8

X=4

2x-3x+2=5

-x=3

X=-3

(2x+5)+(3x-8)=7

2x+5+3x-8=7

5x=10

X=2

(2x-3)-(x+1)=1

2x-3-x-1=1

X=5

(x+2)7=7

X+2=1

x=-1

2)Երեք դպրոցներում միասին կա 3230 աշակերտ։ Երկրորդ դպրոցի աշակերտների թիվը 420-ով ավելի է առաջին դպրոցի աշակերտների թվից, իսկ երրորդ դպրոցի աշակերտների թիվը 350-ով ավելի է առաջին դպրոցի աշակերտների թվից։ Քանի՞ աշակերտ կա յուրաքանչյուր դպրոցում։420+350=770

3230-770=2,460

3)Եռանկյան պարագիծը 70 սմ է։ Որոշեք եռանկյան կողմերը, եթե նրա առաջին կողմը երեք անգամ մեծ է երկրորդից և 7 սմ-ով մեծ է երրորդ կողմից։

3x+x+3x-7=70

7x=77

x=11 2 կողմ

1 կողմ 33

33-7=

1)Լուծե՛ք հավասարումը.

3-x=1+x

3-1=2

X+x=2x

2x=2

X=1

7x+2=3x-10

10+2=12

3x-7x=-10x

-10x=12

X=12/10

2(x-5)=9

?

12+3(x-1)=0

?

2)Բադերն ու բադիկները միասին 16 հատ են: Բադերը 3 անգամ քիչ են բադիկներից։ Քանի՞ բադիկ կա։

16:2=8

8:3=2,6

3)16 մետր երկարություն ունեցող թելը պետք է երկու մասի բաժանել այնպես, որ մեկը մյուսից 1 մետրով երկար լինի։ Քանի՞ մետր կլինի յուրաքանչյուր մասը։

16:2=8

8+1=9

7 և 9

Առաջադրանքներ․

1)Լուծե՛ք հավասարումը․

3x — 5 = 0

0+5=5

3x=5

X=5/3

5 — x = 0

X=0

18 — 10x = 0

0-18=-18

-10x=-18

X=18/10

2x — 4x -1 = 0

2x-4x=-1

6x=-1

X=1/2

3x — 5 = x

3x+5x=-8x

3x=8

X=5/2

3x + 2 = 5x — 7

7-2=5

3x+5x=8x

8x=5

X=5/8

2)Մտապահել են մի թիվ, ավելացրել են 8 և ստացել 33։ Մտապահված թիվը նշանակեք x-ով, կազմեք հավասարում և լուծեք այն։

33-8=25

3)Գիրքն ունի 60 էջ։ Կարդացել են 2 անգամ ավելի շատ էջ, քան մնացել էր կարդալու։ Քանի՞ էջ էր մնում կարդալու։

60:2=30

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Լուծե՛ք հավասարումը․

7x — 4 = 0

4+0=4

7x=4

X=7/4

7 — x = 0

7-0=7

X=7

15 — 7x = 0

15+0=0

7x=0

X=0

x — 2x + 3 = 7

x-2x=2x

7-3=4

2x=4

X=2

4x — 2 = x

X+2=2

4x=2

X=2

x — 3 = 2x + 1

2x+x=2x

1+3=4

2x=4

X=2

2)Մտապահել են մի թիվ, բազմապատկել են այն 4-ով և ստացել 52։ Մտապահված թիվը նշանակեք x-ով, կազմեք հավասարում և լուծեք այն։

52-4=47

3)Հավաքակայանում 72 մեքենա կա։ Մարդատար մեքենաները 7 անգամ շատ են բեռնատարներից։ Քանի՞ բեռնատար մեքենա կա հավաքակայանում։

72×7=504

Առաջադրանքներ․

1)5; 2; 3; -8; 7 թվերից որո՞նք են հանդիսանում 7x+56=-2x-16 հավասարման արմատներ։

7x-8+56=-2x-8-16

0=0

2)Համարժե՞ք են, արդյոք, հավասարումները․

2x+3=0 և 2x=-3

այո

3x-7=4x-3 և 0=(4x-3)-(3x-7)

այո

7x-5=7x+5 և 0x+1=0

ոչ

3)Լուծե՛ք հավասարումը․

5+4=9

0+5=5

12x=0

X=0

-3x=0

X=0

-0=0

X=0

-1/2x=0

X=0

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Համարժե՞ք են, արդյոք, հավասարումները․

-3x-7=0 և 3x+7=0

ոչ

-2x+3=0 և 2x+3=0

ոչ

3x-7+2x-3=x և 4x-10=0

ոչ

2)Լուծե՛ք հավասարումը․

0-8=8

X=0

-4+2=-4

X=0

7x=10

X=0

5x=1

X=0

1/3x=2

X=0

3x=1/7

X=0

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1)Վերլուծեք արտադրիչների․

9a² — 4 =(3a-2)(3a+2)

100a² — 0,25b² =(10a-0,5b)(10a+0,5b)

1/4m² — 16n² =(1/2m-4n)(1/2+4n)

2)Արտահայտությունը նախապես վերլուծելով արտադրիչների՝ հաշվեք նրա արժեքը․

4² — 3² =(4-3)(4+3)=7

24² — 23² =(24-23)(24+23)=48

37² — 2x37x7 + 7² =(37-7)²=900

3)Ամբողջ արտահայտությունը ներկայացրեք բազմանդամների արտադրյալի տեսքով․

2a + 2b + ax + bx =2(a+b)+x(a+b)=(a+b)(2+x)

m² — mn + am — an =m(m-n)+a(m-n)=(m-n)(m+a)

Կրկնեք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a−b)²=a²−2ab+b²

 a²−b² = (a−b)(a+b)

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²) 

a³—b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

(a+b)³ =a³+3a²b+3ab²+b³

(a—b)³ = a ³ — 3a²b + 3ab ² — b ³

Առաջադրանքներ․

1)Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով․

ա)(a+7)² = a²+2a+7²

բ)(3x-4y)²=3x²-2xy+4y 

գ)(m-6)(m+6)=m²-2m+6²+ m²+2m+6²

դ)(5a+8b)(8b-5a)=5a²+2ab+8b²-8b²-2ab+5a²

ե)(x+2)³ = x³+3a²2+3×2²+2³

զ)(c-1)³ = c ³ — 3c²1 + 3c ² — 1 ³

2)Արտահայտությունը ձևափոխե՛ք կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա)3(x-y)² =

բ)a² + (3a-b)² =

գ)(a-4)² + a(a+8) =

դ)(a-c)(a+c)-(a-2c)²=

3)Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և հաշվե՛ք արժեքը․

ա)(-3+3)²-(-3-2)(-3+2) , եթե a=-3

բ)(5-6-10)²-(3-6-8)² +132-6 եթե a=-6

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով․

ա)(y-4)² = y²−2y+4²

բ)(7x+a)² = 7x²2xa+a²

գ)(5c-1)(5c+1)= 5c²−2c+1² +5c²+2c+1²

դ)(3a+2b)(3a-2b)= 3a²−2ab+2b² +3a²−2ab+2b²

2)Հաշվի՛ր օգտվելով քառակուսիների տարբերության բանաձևից՝

ա)x² — 9y² =(x-9y)(x-9y)

բ)49m² — n² =(49m-n)(49m-n)

գ)25x² — 49y² =(25x-49y)(25x+49y)

դ)0.36m² — 25n² =(0.36m-25n)(0.36m+25n)

3)Արտահայտությունը ձևափոխե՛ք կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա)(x+y)² — (x-y)² = x³+3x²y+3xy²+y³ +x³-3x²y+3xy²—y³

բ)(2m-n)² — (m+2n)² = 2m³-3m²n+3mn²-n³+2m³+3m²n+3mn²+n³

գ)(3n+2p)² — (5p-2n)² =3n³-3n²m+3nm²-2p³+5p³-3p²n+3pn²-2n³