Մանվել Դավթյան

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝

{a₁x+b₁y+c₁=0

{a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:

Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:

Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

Օրինակ՝

1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{x+2y−5=0,

{2x+4y+3=0

x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:  

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	5	0
y	0	2,5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է: 

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	−1,5	2,5
y	0	−2

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:   

Օրինակ՝

2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{2x−y−5=0,

{2x+y−7=0

Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7

y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	3
y	−5	1

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	1
y	7	5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

Պատասխան՝ (3;1)

Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:

Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են հատվել մեկ կետում: Այդ կետի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

2. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են լինել զուգահեռ և չհատվել: Այս դեպքում համակարգը լուծում չունի:

3. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են համընկնել: Այս դեպքում համակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ:

Առաջադրանքներ․

Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․

1)

x=0 y=-4

x=1y=-2

x=0y=-2

(2,0)

2)

x=0y=2

x=1y=1

x=1y=2

x=0y=3

3)

4)

5)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․

1)

2)

3)

4)

Աշխատանք դասարանում 

1. նախորդ վարժության մեջ տրված բառերից որը ի՞նչ հարցի է պատասխանում և փորձի՛ր բացատրել խոսքի մասերի նման խմբավորումը:

Ա. Գոյական, ածական, թվական, դերանուն, բայ, մակբայ:
Բ. Կապ, շաղկապ, ձայնարկություն, վերաբերական բառեր:0

Ա-խմբի բառերը ունեն գլքավոր դեր և օգտագործվում են նախադասության մեջ և նյութական խոսքի մաս են, իսկ Բ խմբինը ոչ:

2. Հարցական դերանունները փոխարինի՛ր այնպիսի բառերով, որոնք ընդգծված առարկաներին (ենթականերին) ինչ-որ հատկանիշ վերագրեն:

Պարզվեց, որ գաղտագողի մոտեցող մարդը (ինչպիսի՞ն) է:-արագաշարժ է
Քաղաքում պտտվող լուրերը (ինչպիսի՞ն) էին:-սուտ էին
Եվրասիա մայրցամաքը (ո՞րն) է:- շատ գեղեցիկ է
Խորհրդավոր այցելուները (քանի՞սն) են:-հինգն էին
Այդ մրցույթի մասնակիցները (քանի՞սն) են:-վեցն էին
Մեր դպրոցը շրջանում (ո՞րերորդն) է:-երկրորդն է
Մեր արձակուրդը (ի՞նչ է անում):-սկսվում է
Աշունը (ի՞նչ է արել) դաշտերը, այգիներն ու անտառները:

3. Բառակապակցություններ կազմի՛ր` Ա խմբի մակբայներն ավելացնելով Բ խմբի ածականներին ու բայերին:

Ա. Շատ, փոքր-ինչ, համարյա, հազիվ, ներքուստ:
Բ. Դեղին, հանգիստ, մեծ, հուզվել, հանգստանալ, լաց լինել:

Շատ մեծ,փոքր-ինչ հանգիստ,համարյա հուզվել,ներքուստ դեղին,հազիվ լաց լինել:

4. Կետերը փոխարինի՛ր տրված բառերով: Փորձի՛ր բացատրել, թե տարբեր խոսքի մասերի պատկանող այդ բառերն ինչո´վ են իրար նման:
Տանտերոջ, լրագրողներից, զրույցից, ես, բոլորից, խոսելուց, պատմելուց:
Մեր տիեզերական այցելուն կարծես թե արդեն ընտելացել էր. բայց դեռ… խուսափում էր:

Դասի հղումը

Բնակչության սեռատարիքային բուրգը

Բնակչության ցուցանիշները 

Առաջադրանքներ․

1)Հավասարասրուն սեղանի սրունքը հավասար է փոքր հիմքին և մեծ հիմքից փոքր է 2 անգամ։ Գտե՛ք սեղանի պարագիծը, եթե փոքր հիմքը 7սմ է։

7+7+7+14=35

2)ABCD հավասարասրուն սեղանի C գագաթից AD մեծ հիմքին տարված է CK ուղղահայացը։ Գտե՛ք սեղանի հիմքերը, եթե դրանց գումարը 18սմ է, իսկ KD=1սմ։

18-2=16

16:2=8

18-8=10

3)Հավասարասրուն սեղանի անկյունագիծը կիսում է դրա բութ անկյունը։ Սեղանի

փոքր հիմքը 3սմ է, իսկ պարագիծը՝ 42սմ։ Գտե՛ք սեղանի մեծ հիմքը։

42-3=39

3x=39

39:3=13

x=13

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Գտե՛ք 13սմ և 19սմ հիմքերով սեղանի միջին գիծը։

13+19=32

32:2=16

2)Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը երկու անգամ մեծ է փոքր հիմքից։Սեղանի անկյունագիծը դրա սուր անկյունը բաժանում է հավասար մասերի։ Գտե՛ք սեղանի փոքր հիմքը, եթե սեղանի պարագիծը 60սմ է։

3)Գտե՛ք սեղանի հիմքերի երկարությունները, եթե դրանց տարբերությունը 7սմ է, իսկ սեղանի միջին գիծը 12սմ է։

x+x+7=12*2=24

2x=24-7=17

x=8.5

x=15.5

Օրինակ (հնագույն) Հանդիպեցին երկու հովիվ՝ Հովհաննեսը և Պետրոսը: Հովհաննեսն ասում է Պետրոսին. «Տուր ինձ մի ոչխար, և ինձ մոտ կլինի երկու անգամ ավելի ոչխար, քան քեզ մոտ»: Իսկ Պետրոսը նրան պատասխանում է. «Ոչ, ավելի լավ է դու տուր ինձ մի ոչխար, և մեզ մոտ կլինեն հավասար թվով ոչխարներ»: Քանի՞ ոչխար ուներ նրանցից յուրաքանչյուրը:

Լուծում: Դիցուք Հովհաննեսն ուներ x ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ y ոչխար: Եթե Պետրոսը Հովհաննեսին տար մեկ ոչխար, ապա Պետրոսի մոտ կմնար (y-1) ոչխար, իսկ Հովհաննեսի մոտ կլիներ (x+1) ոչխար:

Բայց այդ դեպքում Հովհաննեսի մոտ երկու անգամ շատ ոչխար կլիներ, քան Պետրոսի մոտ: Հետևաբար

                                        x+1=2(y-1):

Իսկ եթե Հովհաննեսը Պետրոսին մեկ ոչխար տար, ապա Հովհաննեսի մոտ կմնար (x-1) ոչխար, իսկ Պետրոսի մոտ կդառնար (y+1) ոչխար: Բայց այդ դեպքում նրանք կունենային հավասար թվով ոչխարներ: Հետևաբար

                                      x-1=y+1:

Այս երկու հավասարումներից կազմենք համակարգ՝

Համակարգն էլ լուծելով մեզ արդեն ծանոթ տեղադրման կամ գումարման եղանակով՝ կստանանք, որ x=7; y=5: Այսպիսով, Հովհաննեսն ունի 7 ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ 5 ոչխար:

Առաջադրանքներ․

1) 

ա) Երկու թվերի գումարը 10 է, իսկ տարբերությունը՝ 4: Գտեք այդ թվերը:

{x+y=10
{x-y=4

10+4=14

=>x=7

7+3=10

=>y=3

բ) Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9: Գտեք այդ թվերը:

{x+y=21
{x-y=9

21+9=30

=>x=15

15+6=21

=>6

2) Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 44: Գտեք այդ թվերը:

x=2y

4y+2x=44

8y=44

y=5.5

5.5×4=22

22:12=11

x=11

3) Տրված են երկու թվեր։ Եթե առաջին թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 1-ով մեծ կլինի երկրորդից, իսկ եթե երկրորդ թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 7-ով մեծ կլինի առաջինից։ Գտեք այդ թվերը։

2x=1+y

2y=7+y

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)

 ա) Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից: Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի: Գտեք այդ թվերը:

40:2=20

20-6=14

x=20

y=14

բ) Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է:

23:2=11.5

11.5+15=26.5

x=11.5

y=26.5

2) Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից: Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 31: Գտեք այդ թվերը:

x=7y

y2+x6=8

7y=8

Պապի՛կ, էդ ի՞նչ ես փսփսում,- հարցրեց տղան՝ նկատելով, որ պապը քնելուց
առաջ ինքն իրեն ինչ-որ բան է շշնջում:

• Միտքը Սրտիս եմ տալիս, փոքրի՛կ,- պատասխանեց նա:
  Տղան զարմացավ.
• Ի՞նչ է դա նշանակում:
  Իմաստուն պապն ասաց նրան.
• Չեմ ուզում վիճել ինձ զայրացրած հարևանի հետ, չգիտեմ՝ ինչպես վարվել:
  Ահա և միտքը կդնեմ Սրտի մեջ և կքնեմ, իսկ առավոտյան Սիրտը կհուշի ինչ անել:
• Բա որտեղի՞ց Սիրտը գիտի, պապի՛կ:
• Սիրտն ամեն ինչ գիտի, ես ամբողջ կյանքում սովորում եմ նրանից: Քեզ էլ եմ
  խորհուրդ տալիս՝ երբ կփնտրես որևէ դժվար խնդրի պատասխան, երբ ինչ-որ բան
  քեզ համար հասկանալի չի լինի, քնելուց առաջ միտքը տուր Սրտին, իսկ
  առավոտյան պատասխանները պարզ կլինեն: Միայն թե դա արա հավատով:

---

Նստել էր ծերունին ճամփեզրին ու նայում էր ճանապարհին: Տեսնում է՝ գալիս է
մի մարդ, իսկ նրա ետևից՝ փոքրիկ մի տղա: Մարդը կանգ է առնում, տղային
պատվիրում ծերունուն իրենց ունեցածից հաց ու ջուր տալ:

• Ի՞նչ ես անում այստեղ, ծերո՛ւկ,- հարցնում է անցորդը:
• Սպասում եմ քեզ,- պատասխանում է ծերունին: Քեզ են, չէ՞, վստահել այս
  երեխայի դաստիարակությունը:
• Ճի՛շտ է,- զարմանում է մարդը:
• Ուրեմն վերցրու այս իմաստությունը.
  Եթե ուզում ես մեկի համար ծառ տնկել՝ տնկի՛ր պտղատու ծառ:
  Եթե ուզում ես մեկին ձի նվիրել՝ նվիրի՛ր լավագույն նժույգը:
  Իսկ, եթե քեզ վստահել են դաստիարակության գործ, ապա հավատա՛ երեխայի
  թռիչքին:
• Ինչպե՞ս ես կարող եմ դա անել, ծերո՛ւկ, եթե ինքս թռչել չգիտեմ,- զարմացավ
  մարդը:
• Այդ դեպքում տղային դաստիարակության մի՛ վերցրու,- ասաց ծերունին՝
  սևեռուն հայացքն ուղղելով երկինք:
  Անցան տարիներ:
  Ծերունին նստել էր նույն տեղում և նայում էր երկնքին:
  Տեսնում է՝ թռչում է տղան, իսկ ետևից՝ նրա ուսուցիչը:
  Իջնելով ծերունու մոտ՝ նրանք խոնարհվեցին:
• Ծերո՛ւկ, հիշո՞ւմ ես, դու ինձ պատվիրեցիր տղային թևեր տալ: Ես գտա
  ճանապարհը… Տեսնո՞ւմ ես՝ ինչպես են նրա թևերը աճել,- հպարտությամբ ասաց
  ուսուցիչը՝ քնքշորեն նայելով իր աշակերտի թևերին:
  Բայց ծերունին թեթևակի հպվեց ուսուցչի թևերին, շոյեց ու շշնջաց.
• Ինձ ամենաշատը ուրախացրին քո´ փետուրները…

---

Եթե մարդիկ չեն կարողանում թռչել, թող թռչել սովորեցնեն իրենց երեխաներին:
Այն էլ սովորեցնեն թռչել
Բարձր,
Արագ,
Հեռու,
Գեղեցիկ:
Կգա ժամանակը, երբ երեխաները կտարածեն իրենց թևերն ու կսավառնեն:
Թող մեծերը պարզապես հետևեն երեխաներին, որպեսզի վերջիններս չընկնեն:
Եվ այնժամ կպարզեն, որ իրենք ևս թռչում են:
Այս մեթոդը հարկավոր է կիրառել այն դեպքում, երբ մարդիկ ընդհուպ մոտեցել
են անդունդի եզրին և փրկվելու այլևս ելք չկա:
Այսինքն՝ սկսել անմիջապես:
Եվ հարկավոր է գիտակցությունից ջնջել միտքը, թե «Սովորել կարող են միայն
այն, ինչը սովորեցնում են»:
Դա սուտ է, և այն կործանարար է:
Դրա փոխարեն հարկավոր է ընդունել օրենք. «Սովորիր՝ սովորենք»:
Դա է Ճիշտը, և այն փրկություն է:
Միայն թե չմոռանաք այդ օրենքին հավելել հավատ, հույս, սեր, անկեղծություն,
գեղեցկություն և ստեղծագործական համբերություն:

Hovhannes Tumanyan was born on February 19, 1869 in the village of Lorva Dsegh[7]. In 1877-1879, Tumanyan studied at Dseghi parish school. In 1879-1883, he studied at the newly opened bisexual school in Jalaloglu (now Stepanavan) [9]. He lived in Tiflis since 1883. In the years 1883-1887, he studied at the Nersisyan School in Tiflis, but due to the difficult financial situation, in 1887 he left his studies halfway, and worked in the Armenian Church Court of Tiflis, then in the office of the Armenian Publishing Union (until 1893). Since 1893, he worked for «Aghbyur», «Murch», «Hasker», «Horizon» literary periodicals.

1)Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40^o է։

180-40=140

140:2=70

70+40=110

2)Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60^o ։ Գտեք սեղանի փոքր հիմքը։

90-60=30

4-2=2

3)Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, իսկ միջին գիծը 10սմ է։ Գտեք սեղանի հիմքերը։

10×2=20

2+3=5

20:5=4

4×3=12

4×2=8

1)Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե < A = 36^o, < C = 117^o։

180-36=144

180-117=63

2)Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացն այդ հիմքը տրոհում է 6սմ և 30սմ երկարությամբ հատվածների։ Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և միջին գիծը։