Рубрика: երկրաչափություն

1)ABC և MNK եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 2, 5 : Գտեք MNK եռանկյան կողմերը, եթե ABC եռանկյան կողմերը 12 դմ, 8 դմ և 15 դմ են:

12:2,5=4,8

8:2,5=3,2

15:2,5=6

2)Նմա՞ն են, արդյոք, ABC և DEF եռանկյունները, եթե <A = 106^օ, <B = 34^օ, <E = 106^օ, <F = 40^օ, AC = 4,4սմ, AB = 5,2սմ, BC = 7,6սմ, DE = 15,6սմ, DF = 22,8սմ, EF = 13,2սմ:

այո նման են

3)ABC և KMN նման եռանկյունների մեջ AB և KM, BC և MN կողմերը նմանակ են։ Գտեք KMN եռանկյան կողմերը, եթե AB = 4 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ , KM/AB = 2,1։

KM=AB x 2.1=4 x 2.1=8.4
MN = BC x 2.1 = 5 x 2.1=10.5
NK = CAx2.1=7×2.1=14.7

4)KPF և EMT եռան կյունները նման են, ընդ որում՝ KP/ME = PF/MT = KF/ET, <F = 20^օ, <E = 40^օ : Գտեք այդ եռանկյունների մյուս անկյունները։

KP=MN-20

PF=MT-40

5)Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերն են 2 սմ և 5 սմ։ Առաջին եռանկյան մյուս երկու կողմերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք երկրորդ եռանկյան պարագիծը:

22.5

6)Նման ուղղանկյուն եռանկյունների երկու նմանակ կողմերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 3: Նրանցից առաջինի էջերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը։

առաջին եռանկյան մակերեսը 6սմ

երկրորդ եռանկյան մակրեսը 15,5սմ

Հատվածների հարաբերություն կոչվում է նրանց երկարությունների հարաբերությունը: Դիտարկենք AB և VN հատվածները, ընդ որում՝ АВ հատվածը 2 անգամ մեծ է VN հատվածից:

AB և VN հատվածների հարաբերությունը հավասար է 2:1

AB/VN = 2/1

Ինչպես նաև, կարելի է պնդել, որ VN և AB հատվածների հարաբերությունը հավասար է 1:2 ։

VN/AB = 1/2

Հետևյալ օրինակում AR հատվածը հավասար է երեք միավորի, իսկ VZ հատվածը՝ երկու միավորի:

AR և  VZ  հատվածների հարաբերությունը հավասար է 3:2՝

AR/VZ=3/2 կամ VZ/AR=2/3

Եթե a և b հատվածների հարաբերությունը հավասար է c և d հատվածների հարաբերությանը, այսինքն՝  a/b = c/d, ապա այդ հատվածները կոչվում են համեմատական:

Համեմատենք վերևում դիտարկված հատվածները: Դրանք համեմատական չեն, քանի որ՝

AB/VN ≠ AR/VZ

Դիտարկենք հետևյալ նկարները․

Համեմատենք AB/VN և AH/VT հարաբերությունները՝ AB/VN=2/1

Ուրեմն, AB/VN = AH/VT, և հատվածները համեմատական են:

Եռանկյան կիսորդի հատկությունը․

Եռանկյան անկյան կիսորդը դիմացի կողմը բաժանում է կից կողմերին համեմատական մասերի:

AD/DC = AB/BC

Առաջադրանքներ․

1)Հետևյալ հատվածներից որո՞նք են համեմատական a = 4 սմ և b = 6 սմ հատվածներին.
ա) c = 2 սմ, d = 3 սմ+
բ) m = 6 սմ, n = 9 սմ+
գ) l = 1 դմ, p = 1,8 դմ:

2)AB և CD հատվածները համեմատական են EF և MN հատվածներին: Գտեք EF-ը, եթե AB = 5 սմ, CD = 8 սմ, MN = 10 սմ:

AB/CD=EF/MN

5/8=EF/10

10×5:8=6.25

EF=6.25

3)Եռանկյան a և c կողմերը համեմատական են c և b կողմերին: Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը, եթե a = 4 սմ, b = 9 սմ:

a=4

b=9

9:4=2.25

a+b+c=15.25

4)ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե CD = 10 սմ, BC/CD = AC/OC:

BC=20

OC=10

AC=20

10+20+20=50

5)CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը, եթե BD = 20 սմ, AD = 15 սմ, AC = 21 սմ:

20+15+21=36

6)KP և MN հատվածները DO և AL հատվածներին համեմատական են։ Գտեք AL–ը, եթե KP = 8 դմ, MN = 40 սմ, OD = 1 մ:

kp/mn=do/al

1/8=al/10

10×1:8=6.25

al=6.25

Առաջադրանքներ․

1)

A{2;3}

B{0,2}

C{8,2}

D{2.0}

2)

A{-3,1/5}

B{-2-3}

C{-1/0}

D{0,3}

E{0,1}

3)

4)

1.{12}

2.{5}

3.{6}

4.{2}

5)

1.{1}

2.{0}

3.{5}

4.{-2}

6)

7)

1.-2,4-

2.2,0

3.2,3

4.-2,3

5.0,-5

8)Հոկտեմբեր ամսվա ֆլեշմոբ․

a և b վեկտորների տարբերություն կոչվում է այն c վեկտորը, որի և b վեկտորի գումարը հավասար է a վեկտորին։

Վեկտորների տարբերության սահմանումից հետևում է, որ a — 0 = a :

Վեկտորների համար նույնպես կա հակադիր վեկտորներ՝ հասկացություն և

a − b = a + (-b)

a և a վեկտորները կոչվում են հակադիր վեկտորներ, եթե դրանք հակուղղված են, և դրանց երկարությունները հավասար են։ a վեկտորին հակադիր վեկտորը կնշանակենք − a-ով: Պարզ է, որ a + (-a) = 0:
Ցանկացած a և b վեկտորների համար տեղի ունի a — b = a + (-b) հավասարությունը:

Առաջադրանքներ․

1)Օգտվելով բազմանկյան կանոնից` պարզեցրեք արտահատությունը․

ա)(AB + BC — MC) + (MD — KD)= AK

բ) (CB + AC + BD) — (MK + KD)= CD

2)ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմը 5 սմ է: Գտե՛ք AC + CB վեկտորի մոդուլը:

AC+BC=AB

3)C ուղիղ անկյունով ABC հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան էջը 7 դմ է: Գտե՛ք AC + CB վեկտորի մոդուլը:

4)Օգտվելով զուգահեռագծի կանոնից` կառուցեք նկարի a և b վեկտորների գումարը:

5)ABC եռանկյան մեջ AB = 6, BC = 8, <B = 90^o : Գտեք՝

ա)|BA| — |BC| և |BA — BC|

բ)|AB| + |BC| և |AB + BC|

գ)|BA| + |BC| և |BA + BC|

դ)|AB| — |BC| և |AB — BC|

Վեկտորների գումարը սահմանելուց առաջ դիտարկենք մի օրինակ: Ենթադրենք՝ նյութական կետը A կետից տեղափոխվել է B կետ, հետո B կետից էլ տեղափոխվել է C կետ: A-ից B տեղափոխությունը կներկայացվի AB վեկտորով, իսկ B-ից C տեղափոխությունը`BC վեկտորով: Այդ երկու տեղափոխությունների արդյունքը կներկայացվի AC վեկտորով:

Մեկը մյուսի ծայրակետից տեղադրված երկու վեկտորների գումարը առաջինի սկզբնակետը՝ երկրորդի վերջնակետին միացնող վեկտորն է:

Ուրեմն AB + BC = AC։ Վեկտորների գումարման այս կանոնը կոչվում
է եռանկյան կանոն:
Եթե վեկտորներից մեկի վերջնակետը մյուսի սկզբնակետը չէ, ապա կարելի է որևէ M կետից տեղադրել դրանցից մեկին հավասար վեկտոր, ապա դրա ծայրակետից տեղադրել մյուսին հավասար վեկտոր և առաջինի սկզբնակետը միացնել երկրորդի վերջնակետին:

Ցանկացած a, b և c վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

Ապացուցենք առաջին հավասարությունը։ Դիտարկենք a և b տարագիծ վեկտորները։Նախ ապացուցենք, որ վեկտոր a+b = վեկտոր b + a :
Ենթադրենք՝ ինչ-որ A կետից տեղադրված է վեկտոր AB = վեկտոր a, իսկ B կետից վեկտոր BC = վեկտոր b։ Ըստ վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնի վեկտոր a + b = AC
A կետից տանենք BC-ին, իսկ C կետից AB-ին զուգահեռ ուղիղներ և դրանց հատման կետը նշանակենք D-ով:

Ստացված ABCD քառանկյունը կլինի զուգահեռագիծ (հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են), ինչից հետևում է, որ AD = b, DC = a : Ըստ վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնի՝ վեկտոր AD + DC = AC = b + a : Հետևաբար, վեկտոր a + b = b + a : Գումարման այս կանոնը կոչվում է զուգահեռագծի կանոն։

Այժմ ապացուցենք երկրորդ հավասարությունը։

Ենթադրենք՝ ինչ–որ A կետից տեղադրված է վեկտոր AB = վեկտոր a, B կետից` վեկտոր BC = վեկտոր b, և C կետից՝ CD = c։

Ըստ վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնի՝ կունենանք.

Երկուսից ավելի, օրինակ՝ a, b c, d վեկտորները գումարելու համար հարմար է կառուցել ABCDE վեկտորական բեկյալ, որտեղ AB = a , BC = b, CD = c , DE = d : Օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից՝ կարելի է համոզվել, որ բեկյալի սկզբնակետը դրա վերջնակետին միացնող AE վեկտորը կլինի դրանց գումարը՝ a + b + c + d = AE :

Եթե A և E կետերը համընկնում են (բեկյալը փակ բեկյալ է), ապա գումար վեկտորը զրոյական վեկտոր է: Վեկտորների գումարման ներկայացված կանոնը կոչվում է բազ–
մանկյան կանոն:

Առաջադրանքներ․

1)Թվարկված նկարներից որո՞ւմ է ցուցադրված i և h վեկտորների գումարը եռանկյան կանոնով:

1.+

2)Նայիր հետևյալ նկարին՝

Ընտրիր ճիշտ հավասարությունը:
Վեկտոր g = i +h
Վեկտոր i = h + g
Վեկտոր h = i +g

3)Տրված է TUVZ սեղանը: Ո՞ր վեկտորն է հավասար այս վեկտորների գումարին՝ UT+TZ գումարումը եռանկյան կանոնով կատարելիս:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

ա)ZV
բ)UZ
գ)ZU
դ)TV

4)Տրված է հետևյալ սեղանը: Կատարիր BA+AD գումարումը:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

ա)CD
բ)BD
գ)AC

5)Օգտվելով եռանկյան կանոնից՝ կառուցե՛ք a և b վեկտորների գումարը:

6)Գծե՛ք ABCDEF վեցանկյուն: Կառուցեք հետևյալ վեկտորները. AC + CE և AD+DF:

7)Գտե՛ք ա) AB և BC , բ)CB և BA , գ) AB և BA վեկտորների գումարը, որտեղ A, B, C կետերը կամայական կետեր են:

Ֆիզիկական մեծությունների մի մասը բնութագրվում է միայն թվային արժեքով, մյուսները, բացի թվային արժեքից, բնութագրվում են նաև ուղղությամբ: Առաջինները կոչվում են սկալյար մեծություններ, իսկ երկրորդները՝ վեկտորական մեծություններ:
Սկալյար մեծություններ են, օրինակ, ժամանակը, զանգվածը, անցած ճանապարհը, ճնշումը և այլն: Վեկտորական մեծություններ են տեղափոխությունը (S), արագությունը ( V ), արագացումը ( a ), ուժը (F) և այլն: Վեկտորական մեծությունները (կամ վեկտորները) նկարում պատկերվում են ուղղություն ունեցող հատվածներով: Հատվածին ուղղություն վերագրելու համար դրա ծայրակետերից մեկը ընդունվում է որպես սկիզբ (սկզբնակետ), իսկ մյուսը՝ որպես վերջ (վերջնակետ), ապա սկիզբը սլաքով միացվում է վերջին:
Սլաքը ցույց է տալիս այդ վեկտորի ուղղությունը, իսկ հատվածի երկարությունը` վեկտորի թվային արժեքը (ընտրված մասշտաբին համապատասխան):

Սահմանում։ Հատվածը, որի ծայրակետերից մեկը ընտրված է որպես սկիզբ, իսկ մյուսը՝ որպես վերջ, կոչվում է ուղղորդված հատված կամ վեկտոր։
Վեկտորները նշանակում են վերևում սլաք ունեցող լատիներեն երկու մեծատառերով, որոնցից առաջին տառը վեկտորի սկիզբն է, երկրորդը՝ վերջը, օրինակ

Վեկտորները նշանակվում են նաև լատիներեն մեկ փոքրատառով, օրինակ,

Սահմանում։ Վեկտորը, որի վերջն ու սկիզբը համընկնում են, կոչվում է զրոյական վեկտոր։Զրոյական վեկտորը պատկերվում է մեկ կետով: Եթե զրոյական վեկտորի սկիզբն ու վերջը A կետն է, ապա այն նշանակում են

կամ

Սահմանում: Ոչ զրոյական AB վեկտորի երկարություն կամ մոդուլ՝ AB, կոչվում է AB հատվածի երկարությունը։

Իսկ ինչպես պարզել՝ նո՞ւյնն են վեկտորների ուղղությունները, թե՞ տարբեր:
Սահմանում։ Երկու վեկտոր կոչվում են համագիծ, եթե դրանք միևնույն ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա են, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են տարագիծ։ Կհամարենք, որ զրոյական վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի։

Նկարում

վեկտորները համագիծ են, իսկ օրինակ՝

վեկտորները տարագիծ են: MM զրոյական վեկտորը համագիծ է բոլոր վեկտորներին:
Ոչ զրոյական համագիծ վեկտորները կարող են ունենալ նույն ուղղությունը կամ հակառակ ուղղություններ: Առաջին դեպքում ասում են, որ վեկտորները համուղղված են, իսկ երկրորդ դեպքում՝ հակուղղված են:

Նկարում AB և CD վեկտորները համուղղված են, իսկ CD և EF վեկտորները՝ հակուղղված:

գրառումը նշանակում է, որ a և b վեկտորները համուղղված են, իսկ

գրառումը նշանակում է, որ a և b վեկտորները հակուղղված են:
Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորի։

Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորի։
Սահմանում: Համուղղված և հավասար երկարություն ունեցող վեկտորները կոչվում են հավասար վեկտորներ։

a և b վեկտորների հավասարությունը գրվում է այսպես՝

Ցանկացած M կետից կարելի է տեղադրել տրված AB վեկտորին հավասար վեկտոր, ընդ որում՝ միայն մեկը։

Եթե AB վեկտորը զրոյական վեկտոր է, ապա MM վեկտորը որոնելի վեկտորն է: Ենթադրենք՝ AB վեկտորը ոչ զրոյական է: Որոնելի վեկտորը պիտի համուղղված լինի AB վեկտորին: Հետևաբար այն կարող է գտնվել կամ AB ուղղի կամ AB ուղղին զուգահեռ ուղղի վրա: M կետով տանենք AB ուղղին զուգահեռ m ուղիղը: Եթե M կետը պատկանում է AB ուղղին, ապա որպես m ուղիղ կվերցնենք AB ուղիղը:

m ուղղի վրա M կետից կարելի է տեղադրել AB հատվածին հավասար
երկու հատված: Թող դրանք լինեն MK և ML հատվածները: MK և ML հակուղղված վեկտորներից մեկը, և միայն մեկը, համուղղված է AB
վեկտորին: Հենց դա էլ կլինի որոնելի և միակ վեկտորը:

Առաջադրանքներ․

1)

տարագիծ հակուղի

2)

3)

4)

5)

6)

7)Գծեք AB, CD և EF վեկտորներն այնպես, որ՝

ա) AB, CD և EF վեկտորները լինեն համագիծ

բ) AB և EF վեկտորները լինեն համագիծ, իսկ AB և CD վեկտորները համագիծ չլինեն

(x — x₁)/(x₂ — x₁) = (y — y₁)/(y₂ — y₁)

ax + by + c = 0 

1)Գտե՛ք 3x — 4y + 5 = 0 ուղղի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատները:

x=5/3

y=5/4

2)Գտե՛ք 2x — 3y + 1 = 0 և 3x + y — 4 = 0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները:

x=1/2

y=1/3

3)Գրե՛ք A(1; 3), B(2; -3) կետերով անցնող ուղղի հավասարումը:

4)Գծագրեք այն ուղիղը, որը տրված է հետևյալ հավասարումով.

ա) y = 3

բ) x = — 2

գ) x — 2y = 0

դ) 3x — y + 1 = 0

5)Գրե՛ք A(4; 6), B(-4; 0), C(-1; −4) գագաթներով ABC եռանկյան CM միջնագիծն ընդգրկող ուղղի հավասարումը:

6)Գրեք M(4; 0), N(12; — 2), K(6; 8) գագաթներով MNK եռանկյան MK կողմին զուգահեռ միջին գիծն ընդգրկող ուղղի հավասարումը:

Տրված կոորդինատական համակարգում որևէ գծի հավասարում անվանում են x և y փոփոխականներով այն հավասարումը, որին բավարարում են այդ գծի ցանկացած կետի կոորդինատները, և ցանկացած կետ, որի կոորդինատները բավարարում են հավասարմանը, պատկանում է այդ գծին:

Ենթադրենք՝ Oxy կոորդինատային համակարգում տրված են A(x₁; y₁) և B(x₂; y₂) կետերը: Ինչպես գիտեք երկու կետերը միարժեք որոշում են դրանցով անցնող ուղիղը: A(x₁; y₁) և B(x₂; y₂) կետերով անցնող ուղիղը թող լինի l ուղիղը:

Երբ x₂ հավասար չէ x₁, y₂ հավասար չէ y₁, ապա x — x₁ = k(x₂ — x₁) և y — y₁ = k(y₂ — y₁) :

(x — x₁)/(x₂ — x₁) = (y — y₁)/(y₂ — y₁)

հավասարումը l ուղղի հավասարումն է։

Նշենք նաև, որ կոորդինատային հարթությունում ուղղի հավասարումը ax + by + c = 0 տեսքի հավասարում է, որտեղ a և b գործակիցները միաժամանակ զրո չեն:

Դիտարկենք հատուկ ուղիղներ:

1. Ուղիղը զուգահեռ է Oy առանցքին և անցնում է A(xA;0) կետով:

Այդ ուղղի հավասարումն է՝ x = x_A: Մասնավորապես, Oy առանցքի հավասարումն է՝ x=0

2. Ուղիղը զուգահեռ է Ox առանցքին և անցնում է B(0;y_B) կետով: Այդ ուղղի հավասարումն է՝ y=y_B: Մասնավորապես, Ox առանցքի հավասարումն է՝ y=0։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք կոորդինատների սկզբնակետով և M(3; 3) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

2)Գրե՛ք կոորդինատների սկզբնակետով և N(2; — 2) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

3)Գրեք այն ուղղի հավասարումը, որն անցնում է տրված երկու կետերով․

ա)A(1; −1) և B(-3; 2),

բ) C(2; 5) և D(5; 2),

գ) M(0; 1) և N(-4; -5):

4)Գտեք 4x + 3y — 6 = 0 և 2x + y — 4 = 0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները։

5)Սեպտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․

Դուրս բերենք տրված կենտրոնով և տրված շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

1. Շրջանագծի բոլոր կետերը գտնվում են միևնույն կետից (կենտրոն) միևնույն հեռավորության վրա (շառավիղ):

2. Մենք ունենք երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվման բանաձևը՝ 

Բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝

Դիցուք շրջանագծի կենտրոնը C(x_C;y_C) կետն է, իսկ շառավիղը՝ R-ն է: 

Շրջանագծի ցանկացած P(x;y) կետ գտնվում է C կենտրոնից R հեռավորության վրա:

Հետևաբար, տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ 

(x−x_C)²+(y−y_C)²=R²

Սա հենց C կենտրոնով և R շառավղով շրջանագծի հավասարումն է:

Եթե շրջանագծի կենտրոնը կոորդինատների (0;0) սկզբնակետն է, ապա հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը՝ x²+y²=R² ։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, եթե դրա կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է:

2)Գրեք A(-2; 3) կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է B(1; 2) կետով:

3)Գտե՛ք O(3;1) կենտրոնով և A (6; -3) կետով անցնող շրջանագծի շառավիղը:

4)Ինչի՞ է հավասար (x — 11)² + (y + 24)² = 36 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի տրամագիծը:

5)Գրե՛ք A(2; — 1) կենտրոնով և R = 4 շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

6)A(2; 3), B(3; 4), C(5; 0), D(-4; 5), E(-3; 4) կետերից որոնք են գտնվում x²+ y² = 25 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի վրա:

7)Գրե՛ք AB տրամագծով շրջանագծի հավասարումը, եթե A(3; 5), B(7; 3):

Հիշե՛ք․

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները․

Հեռավորությունը կետերի միջև.

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք ABCD զուգահեռագծի D գագաթի կոորդինատները, եթե A(0, 0) B(5, 0) C(12,- 3):

D=7 -3

2)Գտեք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե`

ա) A(2, 7), B(-2, 7),

հեռավօրություն=2

բ) A(-5, 1), B(-5, -7),

հեռավորություն=5

գ) A(-3, 0), B(0, 4),

հեռավորություն=0

դ) Α(0, 3), B(-4, 0):

հեռավորություն=-3

3)Գտեք MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M(4, 0), N(12, -2), P(5, -9):

4)Տրված են A(-2;1), B(1; 5), C(7;5), D(4;1) կետերը: Գտեք ABCD քառանկյան անկյունագծերը և պարագիծը:

5)Ապացուցեք, որ A(1; 7), B(-1; — 1), C(-4; 2) գագաթներով ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներք– նաձիգին տարված միջնագիծը:

6)Գտե՛ք A(1; — 2), B(3; 5), C(8; 0) գագաթներով ABC հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը