Рубрика: երկրաչափություն

Վեկտորների գումարը սահմանելուց առաջ դիտարկենք մի օրինակ: Ենթադրենք՝ նյութական կետը A կետից տեղափոխվել է B կետ, հետո B կետից էլ տեղափոխվել է C կետ: A-ից B տեղափոխությունը կներկայացվի AB վեկտորով, իսկ B-ից C տեղափոխությունը`BC վեկտորով: Այդ երկու տեղափոխությունների արդյունքը կներկայացվի AC վեկտորով:

Մեկը մյուսի ծայրակետից տեղադրված երկու վեկտորների գումարը առաջինի սկզբնակետը՝ երկրորդի վերջնակետին միացնող վեկտորն է:

Ուրեմն AB + BC = AC։ Վեկտորների գումարման այս կանոնը կոչվում
է եռանկյան կանոն:
Եթե վեկտորներից մեկի վերջնակետը մյուսի սկզբնակետը չէ, ապա կարելի է որևէ M կետից տեղադրել դրանցից մեկին հավասար վեկտոր, ապա դրա ծայրակետից տեղադրել մյուսին հավասար վեկտոր և առաջինի սկզբնակետը միացնել երկրորդի վերջնակետին:

Ցանկացած a, b և c վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

Ապացուցենք առաջին հավասարությունը։ Դիտարկենք a և b տարագիծ վեկտորները։Նախ ապացուցենք, որ վեկտոր a+b = վեկտոր b + a :
Ենթադրենք՝ ինչ-որ A կետից տեղադրված է վեկտոր AB = վեկտոր a, իսկ B կետից վեկտոր BC = վեկտոր b։ Ըստ վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնի վեկտոր a + b = AC
A կետից տանենք BC-ին, իսկ C կետից AB-ին զուգահեռ ուղիղներ և դրանց հատման կետը նշանակենք D-ով:

Ստացված ABCD քառանկյունը կլինի զուգահեռագիծ (հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են), ինչից հետևում է, որ AD = b, DC = a : Ըստ վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնի՝ վեկտոր AD + DC = AC = b + a : Հետևաբար, վեկտոր a + b = b + a : Գումարման այս կանոնը կոչվում է զուգահեռագծի կանոն։

Այժմ ապացուցենք երկրորդ հավասարությունը։

Ենթադրենք՝ ինչ–որ A կետից տեղադրված է վեկտոր AB = վեկտոր a, B կետից` վեկտոր BC = վեկտոր b, և C կետից՝ CD = c։

Ըստ վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնի՝ կունենանք.

Երկուսից ավելի, օրինակ՝ a, b c, d վեկտորները գումարելու համար հարմար է կառուցել ABCDE վեկտորական բեկյալ, որտեղ AB = a , BC = b, CD = c , DE = d : Օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից՝ կարելի է համոզվել, որ բեկյալի սկզբնակետը դրա վերջնակետին միացնող AE վեկտորը կլինի դրանց գումարը՝ a + b + c + d = AE :

Եթե A և E կետերը համընկնում են (բեկյալը փակ բեկյալ է), ապա գումար վեկտորը զրոյական վեկտոր է: Վեկտորների գումարման ներկայացված կանոնը կոչվում է բազ–
մանկյան կանոն:

Առաջադրանքներ․

1)Թվարկված նկարներից որո՞ւմ է ցուցադրված i և h վեկտորների գումարը եռանկյան կանոնով:

1.+

2)Նայիր հետևյալ նկարին՝

Ընտրիր ճիշտ հավասարությունը:
Վեկտոր g = i +h
Վեկտոր i = h + g
Վեկտոր h = i +g

3)Տրված է TUVZ սեղանը: Ո՞ր վեկտորն է հավասար այս վեկտորների գումարին՝ UT+TZ գումարումը եռանկյան կանոնով կատարելիս:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

ա)ZV
բ)UZ
գ)ZU
դ)TV

4)Տրված է հետևյալ սեղանը: Կատարիր BA+AD գումարումը:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

ա)CD
բ)BD
գ)AC

5)Օգտվելով եռանկյան կանոնից՝ կառուցե՛ք a և b վեկտորների գումարը:

6)Գծե՛ք ABCDEF վեցանկյուն: Կառուցեք հետևյալ վեկտորները. AC + CE և AD+DF:

7)Գտե՛ք ա) AB և BC , բ)CB և BA , գ) AB և BA վեկտորների գումարը, որտեղ A, B, C կետերը կամայական կետեր են:

Ֆիզիկական մեծությունների մի մասը բնութագրվում է միայն թվային արժեքով, մյուսները, բացի թվային արժեքից, բնութագրվում են նաև ուղղությամբ: Առաջինները կոչվում են սկալյար մեծություններ, իսկ երկրորդները՝ վեկտորական մեծություններ:
Սկալյար մեծություններ են, օրինակ, ժամանակը, զանգվածը, անցած ճանապարհը, ճնշումը և այլն: Վեկտորական մեծություններ են տեղափոխությունը (S), արագությունը ( V ), արագացումը ( a ), ուժը (F) և այլն: Վեկտորական մեծությունները (կամ վեկտորները) նկարում պատկերվում են ուղղություն ունեցող հատվածներով: Հատվածին ուղղություն վերագրելու համար դրա ծայրակետերից մեկը ընդունվում է որպես սկիզբ (սկզբնակետ), իսկ մյուսը՝ որպես վերջ (վերջնակետ), ապա սկիզբը սլաքով միացվում է վերջին:
Սլաքը ցույց է տալիս այդ վեկտորի ուղղությունը, իսկ հատվածի երկարությունը` վեկտորի թվային արժեքը (ընտրված մասշտաբին համապատասխան):

Սահմանում։ Հատվածը, որի ծայրակետերից մեկը ընտրված է որպես սկիզբ, իսկ մյուսը՝ որպես վերջ, կոչվում է ուղղորդված հատված կամ վեկտոր։
Վեկտորները նշանակում են վերևում սլաք ունեցող լատիներեն երկու մեծատառերով, որոնցից առաջին տառը վեկտորի սկիզբն է, երկրորդը՝ վերջը, օրինակ

Վեկտորները նշանակվում են նաև լատիներեն մեկ փոքրատառով, օրինակ,

Սահմանում։ Վեկտորը, որի վերջն ու սկիզբը համընկնում են, կոչվում է զրոյական վեկտոր։Զրոյական վեկտորը պատկերվում է մեկ կետով: Եթե զրոյական վեկտորի սկիզբն ու վերջը A կետն է, ապա այն նշանակում են

կամ

Սահմանում: Ոչ զրոյական AB վեկտորի երկարություն կամ մոդուլ՝ AB, կոչվում է AB հատվածի երկարությունը։

Իսկ ինչպես պարզել՝ նո՞ւյնն են վեկտորների ուղղությունները, թե՞ տարբեր:
Սահմանում։ Երկու վեկտոր կոչվում են համագիծ, եթե դրանք միևնույն ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա են, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են տարագիծ։ Կհամարենք, որ զրոյական վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի։

Նկարում

վեկտորները համագիծ են, իսկ օրինակ՝

վեկտորները տարագիծ են: MM զրոյական վեկտորը համագիծ է բոլոր վեկտորներին:
Ոչ զրոյական համագիծ վեկտորները կարող են ունենալ նույն ուղղությունը կամ հակառակ ուղղություններ: Առաջին դեպքում ասում են, որ վեկտորները համուղղված են, իսկ երկրորդ դեպքում՝ հակուղղված են:

Նկարում AB և CD վեկտորները համուղղված են, իսկ CD և EF վեկտորները՝ հակուղղված:

գրառումը նշանակում է, որ a և b վեկտորները համուղղված են, իսկ

գրառումը նշանակում է, որ a և b վեկտորները հակուղղված են:
Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորի։

Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորի։
Սահմանում: Համուղղված և հավասար երկարություն ունեցող վեկտորները կոչվում են հավասար վեկտորներ։

a և b վեկտորների հավասարությունը գրվում է այսպես՝

Ցանկացած M կետից կարելի է տեղադրել տրված AB վեկտորին հավասար վեկտոր, ընդ որում՝ միայն մեկը։

Եթե AB վեկտորը զրոյական վեկտոր է, ապա MM վեկտորը որոնելի վեկտորն է: Ենթադրենք՝ AB վեկտորը ոչ զրոյական է: Որոնելի վեկտորը պիտի համուղղված լինի AB վեկտորին: Հետևաբար այն կարող է գտնվել կամ AB ուղղի կամ AB ուղղին զուգահեռ ուղղի վրա: M կետով տանենք AB ուղղին զուգահեռ m ուղիղը: Եթե M կետը պատկանում է AB ուղղին, ապա որպես m ուղիղ կվերցնենք AB ուղիղը:

m ուղղի վրա M կետից կարելի է տեղադրել AB հատվածին հավասար
երկու հատված: Թող դրանք լինեն MK և ML հատվածները: MK և ML հակուղղված վեկտորներից մեկը, և միայն մեկը, համուղղված է AB
վեկտորին: Հենց դա էլ կլինի որոնելի և միակ վեկտորը:

Առաջադրանքներ․

1)

տարագիծ հակուղի

2)

3)

4)

5)

6)

7)Գծեք AB, CD և EF վեկտորներն այնպես, որ՝

ա) AB, CD և EF վեկտորները լինեն համագիծ

բ) AB և EF վեկտորները լինեն համագիծ, իսկ AB և CD վեկտորները համագիծ չլինեն

(x — x₁)/(x₂ — x₁) = (y — y₁)/(y₂ — y₁)

ax + by + c = 0 

1)Գտե՛ք 3x — 4y + 5 = 0 ուղղի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատները:

x=5/3

y=5/4

2)Գտե՛ք 2x — 3y + 1 = 0 և 3x + y — 4 = 0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները:

x=1/2

y=1/3

3)Գրե՛ք A(1; 3), B(2; -3) կետերով անցնող ուղղի հավասարումը:

4)Գծագրեք այն ուղիղը, որը տրված է հետևյալ հավասարումով.

ա) y = 3

բ) x = — 2

գ) x — 2y = 0

դ) 3x — y + 1 = 0

5)Գրե՛ք A(4; 6), B(-4; 0), C(-1; −4) գագաթներով ABC եռանկյան CM միջնագիծն ընդգրկող ուղղի հավասարումը:

6)Գրեք M(4; 0), N(12; — 2), K(6; 8) գագաթներով MNK եռանկյան MK կողմին զուգահեռ միջին գիծն ընդգրկող ուղղի հավասարումը:

Տրված կոորդինատական համակարգում որևէ գծի հավասարում անվանում են x և y փոփոխականներով այն հավասարումը, որին բավարարում են այդ գծի ցանկացած կետի կոորդինատները, և ցանկացած կետ, որի կոորդինատները բավարարում են հավասարմանը, պատկանում է այդ գծին:

Ենթադրենք՝ Oxy կոորդինատային համակարգում տրված են A(x₁; y₁) և B(x₂; y₂) կետերը: Ինչպես գիտեք երկու կետերը միարժեք որոշում են դրանցով անցնող ուղիղը: A(x₁; y₁) և B(x₂; y₂) կետերով անցնող ուղիղը թող լինի l ուղիղը:

Երբ x₂ հավասար չէ x₁, y₂ հավասար չէ y₁, ապա x — x₁ = k(x₂ — x₁) և y — y₁ = k(y₂ — y₁) :

(x — x₁)/(x₂ — x₁) = (y — y₁)/(y₂ — y₁)

հավասարումը l ուղղի հավասարումն է։

Նշենք նաև, որ կոորդինատային հարթությունում ուղղի հավասարումը ax + by + c = 0 տեսքի հավասարում է, որտեղ a և b գործակիցները միաժամանակ զրո չեն:

Դիտարկենք հատուկ ուղիղներ:

1. Ուղիղը զուգահեռ է Oy առանցքին և անցնում է A(xA;0) կետով:

Այդ ուղղի հավասարումն է՝ x = x_A: Մասնավորապես, Oy առանցքի հավասարումն է՝ x=0

2. Ուղիղը զուգահեռ է Ox առանցքին և անցնում է B(0;y_B) կետով: Այդ ուղղի հավասարումն է՝ y=y_B: Մասնավորապես, Ox առանցքի հավասարումն է՝ y=0։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք կոորդինատների սկզբնակետով և M(3; 3) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

2)Գրե՛ք կոորդինատների սկզբնակետով և N(2; — 2) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

3)Գրեք այն ուղղի հավասարումը, որն անցնում է տրված երկու կետերով․

ա)A(1; −1) և B(-3; 2),

բ) C(2; 5) և D(5; 2),

գ) M(0; 1) և N(-4; -5):

4)Գտեք 4x + 3y — 6 = 0 և 2x + y — 4 = 0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները։

5)Սեպտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․

Դուրս բերենք տրված կենտրոնով և տրված շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

1. Շրջանագծի բոլոր կետերը գտնվում են միևնույն կետից (կենտրոն) միևնույն հեռավորության վրա (շառավիղ):

2. Մենք ունենք երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվման բանաձևը՝ 

Բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝

Դիցուք շրջանագծի կենտրոնը C(x_C;y_C) կետն է, իսկ շառավիղը՝ R-ն է: 

Շրջանագծի ցանկացած P(x;y) կետ գտնվում է C կենտրոնից R հեռավորության վրա:

Հետևաբար, տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ 

(x−x_C)²+(y−y_C)²=R²

Սա հենց C կենտրոնով և R շառավղով շրջանագծի հավասարումն է:

Եթե շրջանագծի կենտրոնը կոորդինատների (0;0) սկզբնակետն է, ապա հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը՝ x²+y²=R² ։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, եթե դրա կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է:

2)Գրեք A(-2; 3) կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է B(1; 2) կետով:

3)Գտե՛ք O(3;1) կենտրոնով և A (6; -3) կետով անցնող շրջանագծի շառավիղը:

4)Ինչի՞ է հավասար (x — 11)² + (y + 24)² = 36 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի տրամագիծը:

5)Գրե՛ք A(2; — 1) կենտրոնով և R = 4 շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

6)A(2; 3), B(3; 4), C(5; 0), D(-4; 5), E(-3; 4) կետերից որոնք են գտնվում x²+ y² = 25 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի վրա:

7)Գրե՛ք AB տրամագծով շրջանագծի հավասարումը, եթե A(3; 5), B(7; 3):

Հիշե՛ք․

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները․

Հեռավորությունը կետերի միջև.

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք ABCD զուգահեռագծի D գագաթի կոորդինատները, եթե A(0, 0) B(5, 0) C(12,- 3):

D=7 -3

2)Գտեք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե`

ա) A(2, 7), B(-2, 7),

հեռավօրություն=2

բ) A(-5, 1), B(-5, -7),

հեռավորություն=5

գ) A(-3, 0), B(0, 4),

հեռավորություն=0

դ) Α(0, 3), B(-4, 0):

հեռավորություն=-3

3)Գտեք MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M(4, 0), N(12, -2), P(5, -9):

4)Տրված են A(-2;1), B(1; 5), C(7;5), D(4;1) կետերը: Գտեք ABCD քառանկյան անկյունագծերը և պարագիծը:

5)Ապացուցեք, որ A(1; 7), B(-1; — 1), C(-4; 2) գագաթներով ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներք– նաձիգին տարված միջնագիծը:

6)Գտե՛ք A(1; — 2), B(3; 5), C(8; 0) գագաթներով ABC հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը

«Կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգի» հասկացությունը մեզ հայտնի է հանրահաշվի դասընթացից։ Մենք գիտենք, որ հարթության յուրաքանչյուր կետ որոշվում է երկու կոորդինատով` աբսցիսով և օրդինատով: Կետի աբսցիսը և օրդինատը գտնելու համար այդ կետից իջեցնում ենք ուղղահայացներ, համապատասխանաբար, Ox առանցքին և Oy առանցքին (կամ, որ նույնն է, տանում ենք զուգահեռներ Oy և Ox առանցքներին)։

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները․

Դիտարկենք վերևի նկարի O(0;0) և C(2;4) կետերը միացնող OC հատվածը:

Նկարից երևում է, որ OC հատվածը 2 և 4 կողմերով ուղղանկյան անկյունագիծն է, և նրա միջնակետը B(1;2) կետն է. ուղղանկյան անկյունագծերը հատվելիս կիսվում են:

Նկատում ենք, որ B(1;2) կետի կոորդինատները O(0;0) և C(2;4) կետերի կոորդինատների միջոցով արտահայտվում են հետևյալ կերպ՝

Այս օրինաչափությունը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում:

Եթե կոորդինատային հարթության վրա վերցված են երկու կետեր՝ K(x₀;y₀)  և  L(x₁;y₁), ապա KL հատվածի  M(x;y) միջնակետի կոորդինատները հավասար են՝

Այսպիսով, հարթության վրա տրված երկու կետերը միացնող հատվածի միջնակետի կոորդինատները հավասար են ծայրակետերի համապատասխան կոորդինատների միջին թվաբանականներին:

Հեռավորությունը կետերի միջև.

Հաշվենք MA հեռավորությունը M(1;2) և A(4;3) կետերի միջև:

Այդ կետերից տանենք կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ հատվածներ և դիտարկենք առաջացած APM ուղղանկյուն եռանկյունը:

Հաշվենք APM եռանկյան MP և AP էջերը՝ MP = 4 − 1 = 3, AP = 3 − 2 = 1

Ունենալով APM ուղղանկյուն եռանկյան էջերը, Պյութագորասի թեորեմի միջոցով, գտնում ենք եռանկյան MA ներքնաձիգը՝

Այս օրինաչափությունը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում:

Եթե կոորդինատային հարթության վրա տրված են երկու կետեր՝ K(x₀;y₀) և L(x₁;y₁), ապա այդ կետերի միջև d_KL հեռավորությունը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք A և B ծայրակետերով հատվածի միջնակետի կոորդինատները, եթե

ա) A(2; 3), B(-2; 1)

x=0

y=2

բ) A(1; 8), B(5; 5)

x=3
y=6.5
2)Գտե՛ք AB հատվածի B ծայրակետի կոորդինատները, եթե C(2; — 1) կետը այդ հատվածի միջնակետն է, իսկ A ծայրակետը ունի (3; 5) կոորդինատները:

(1:-7)

3)Գտե՛ք B կետի կոորդինատները, եթե այն A(3; −4) կետի համաչափն է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:

(-3;4)

4)Գտե՛ք A(-2; 3) կետի` x-երի առանցքի նկատմամբ համաչափ B
կետի կոորդինատները:

(-2;3)

5)Գտե՛ք C(7; 2) կետի՝ y-ների առանցքի նկատմամբ համաչափ D
կետի կոորդինատները:

6)Ինչի՞ է հավասար A(2; — 3) կետի հեռավորությունը՝

ա) x-երի առանցքից

բ) y-ների առանցքից

գ) կոորդինատների սկզբնակետից

7)Գտե՛ք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե.

ա) A(1;-3), B(1; 2)

բ) A(2; 3), B(1; −1)

գ) A(0; 2), B(4; -1)

8)Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A(8; 1), B(5; -3), C(11; -3)։

9)Գտեք Ox առանցքի այն կետի կոորդինատները, որը գտնվում է A(5;3) կետից 5 հեռավորության վրա:

1)Գտեք AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա)AB=10սմ, BC=DA=13սմ, CD=20սմ

150

բ)<C=<D=60^o, AB=BC=8սմ

200

գ)<C=<D=45^o, AB=6 սմ, BC=9√2սմ

300

2)Պարզեք, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

6, 8, 10=

5, 6, 7-

11, 9, 13-

15, 20, 25+

3)Որոշեք եռանկյան անկյունները, եթե նրա կողմերն են՝

ա)1, 1, √2+

բ)1, √3, 2-

4)Եռանկյան երկու կողմերն են 30 սմ և 25 սմ, իսկ երրորդ կողմին տարված բարձրությունը՝ 24 սմ: Գտեք երրորդ կողմը:

5)Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 9սմ և 18սմ են, իսկ մեծ սրունքը՝ 15սմ։ Գտեք սեղանի մակերեսը։

6)Պարզեք, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

9, 12, 15+

10, 24, 26-

3, 4, 6-

7)Հավասարասրուն սեղանի անկյունագիծը 25 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ 15 սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը:

1)Արկղն ունի 3,5 դմ կողմով խորանարդի ձև: Որքա՞ն նրբատախտակ է անհրաժեշտ այդ արկղը պատրաստելու համար։

9

2)Ուղղանկյունանիստի ձև ունեցող սենյակի չափսերն են՝ երկարությունը 6 մ, լայնությունը 4 մ, բարձրությունը`3 մ: Գտեք սենյակի՝

ա) հատակի մակերեսը,

4m

բ) պատերի մակերեսը

42

3)3 մ բարձրություն ունեցող սենյակի ուղղանկյունաձև հատակն ունի 5 մ և 4,5 մ չափսեր: Առնվազն քանի փաթեթ պաստառ է հարկավոր այդ սենյակի պատերը լրիվ պաստառապատելու համար, եթե յուրաքանչյուր փաթեթ ունի 9,5 մ² մակերես (դուռը և պատուհանը անտեսել):

9

4)20 մ երկարությամբ, 10 մ լայնությամբ և 2 մ բարձրությամբ ուղղանկյունանիստի ձև ունեցող ջրավազանի հատակը և պատերը անհրաժեշտ է սալիկապատել: Սալիկներից յուրաքանչյուրն ունի 2 դմ կողմով քառակուսու ձև: Քանի՞ այդպիսի սալիկ է հարկավոր։

Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի 5հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c² = a² + b²

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:  

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:

Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

9²=6²+7²;

81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

13²=12²+5²;169=144+25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝

էջ, էջ, ներքնաձիգ

3;4;5

6;8;10

12;16;20

5;12;13

Առաջադրանքներ․

1)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 6 սմ և 8 սմ են: Գտեք դրա ներքնաձիգը:14

2)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13 դմ է, էջերից մեկը՝ 5 դմ: Գտե՛ք մյուս էջը։8

3)Տղան տնից դեպի արևելք անցավ 800 մ, հետո շրջվեց դեպի հյուսիս և անցավ 600 մ: Տնից ի՞նչ հեռավորություն վրա էր տղան:

200m

4)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք՝

ա)AD-ն, եթե AB=5, AC=13

բ)BC-ն, եթե CD=1,5; AC=2,5

5)Ինչքա՞ն պետք է հեռացնել 17 մ երկարությամբ սանդուղքի ստորին ծայրը շենքի պատից, որ դրա վերևի ծայրը լինի 15 մ բարձրության վրա:2m

6)Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը՝ ըստ տրված a և b էջերի․

ա)a=6; b=8+

բ)a=1; b=√3

7)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներքնաձիգը՝ c-ն։ Գտեք b-ն, եթե՝

a = 12; c = 13

22

a = 6; c = 2b

31

8)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք CD-ն, եթե BD=17, BC=15:

20