Рубрика: երկրաչափություն

Գլան կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO₁-ի շուրջ: Նույն գլանը կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁B₁B ուղղանկյունն իր հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող OO₁ ուղղի շուրջ:

OO₁ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ: Գլանի H բարձրությունը հավասար է OO₁=AA₁=BB₁ հատվածներից յուրաքանչյուրին:

Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

Գլանի R=OA=OB շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի շառավիղը:

Գլանի առանցքով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է: Վերևի նկարում դա AA₁B₁B ուղղանկյունն է:

Առաջադրանքներ․

1)Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով։Գոլորշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին։ Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը։

շրջանագիծ:

2)Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է։ Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի երկարությունների հարաբերությունը։

2/1

3)Գլանի առանցքային հատույթը 40 սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են։ Գտեք գլանի շառավիղը։

5

4)Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60^o -ի անկյուն։ Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6 սմ է։

12

Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափողը ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

Եթե միևնույն կետից շրջանագծին տարված են երկու շոշափողներ, ապա

ա) շոշափման կետերի հեռավորությունները տրված կետից հավասար են,

բ) շրջանագծի կենտրոնով և տրված կետով անցնող ուղիղը կիսում է շոշափողների կազմած անկյունը:

Առաջադրանքներ․

1)Ճիշտ են արդյո՞ք հետևյալ պնդումները:

ա)Եթե ուղիղը շրջանագծի շոշափողն է, ապա այն ունի շրջանագծի հետ երկու ընդհանուր կետ:

• ոչ+
• այո

բ)Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի ընդհանուր կետ, ապա այն հանդիսանում է շրջանագծի հատող:

• այո
• ոչ+

գ)Ուղիղն ու շրջանագիծը կարող են ունենալ միայն երկու ընդհանուր կետ:

• ոչ
• այո+

2)Տրված է՝ ∢CAO=29°

Հաշվիր՝

∢ABO=90

∢COA=90

3)Տրված է A անկյունը, որի կողմերը շոշափում են O կենտրոնով և 6 սմ շառավղով շրջանագիծը: Հաշվիր OA հատվածի երկարությունը, եթե ∡A=60°:

4)Շրջանագծին A, C և E կետերում տարված են AB, BD և DE շոշափողները, իսկ AB=8 սմ: Որոշիր ACE եռանկյան պարագիծը:

180-60:2=60

3×8=24

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Շրջանագիծ կոչվում է երկրաչափական այն պատկերը, որը կազմված է հարթության բոլոր այն կետերից, որոնք գտնվում են տրված կետից տրված հեռավորության վրա:   

Այդ կետը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն, իսկ տրված հեռավորությունը՝ շրջանագծի շառավիղ:

Շառավիղը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ: Սահմանումից հետևում է, որ կարելի է տանել անվերջ թվով շառավիղներ, և դրանք բոլորը կունենան միևնույն երկարությունը:

Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար:

Եթե լարը անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, ապա այն կոչվում է շրջանագծի տրամագիծ:

Տրամագիծն ամենաերկար լարն է:

Շրջանագծում կարելի է տանել նաև անվերջ թվով տրամագծեր:

Շրջանագծի ցանկացած երկու կետեր շրջանագիծը տրոհում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ:

Եթե շրջանագծի վրա նշենք երկու կետ, ապա առաջանում են երկու աղեղներ: Այդ պատճառով աղեղի նշանակման համար օգտագործում են լատիներեն երեք տառ, որոնք կարող են լինել ինչպես մեծատառեր, այնպես էլ՝ փոքրատառեր:  

Վերևի նկարում կարող ենք նշել BDH, ACG և մյուս աղեղները:

Ներքևի նկարում գծված են AxB և AyB աղեղները:

Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը

1.Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը ուղղահայաց է այդ լարին։

2․Լարը հատող և նրան ուղղահայաց շառավիղն անցնում է այդ լարի միջնակետով։

Առաջադրանքներ․

1)Հաշվիր CA -ն, եթե CD=8 սմ և ∢AOD=120°

OC=OA=CA=>CA=4

2)Տրված են շրջանագիծ և մի քանի հատվածներ: Որո՞նք են դրանցից հանդիսանում շառավիղներ, լարեր և տրամագծեր:

FC+լար

CD=տրամագիծ

EB=տրամագիծ

NB=տրամագիծ

3) Ընտրիր շրջանագծի լարը:

Կարող են լինել մի քանի ճիշտ պատասխաններ:

NM

LK

4) Ո՞ր հատվածներն են հանդիսանում շրջանագծի տրամագիծ:

KG

FH

5) Տրված է՝ MN=7սմ, ∢ONM=60°։Գտիր՝ KN-ը։

MN=NO=>7+7=14

6)ABCD զուգահեռագծի B  գագաթից АD կողմին տարված է  BH բարձրությունը, որ AB կողմի հետ կազմում է 40 աստիճանի անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

7)Զուգահեռագծի պարագիծը 100սմ է:Նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 10սմ-ով: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը:

Պրիզմա կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը զուգահեռագծեր են:

Զուգահեռ հարթություններում գտնվող հավասար նիստերը կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր:

Հիմքերից կախված պրիզմաները լինում են եռանկյուն՝

քառանկյուն՝

վեցանկյուն և այլն

Եթե պրիզմայի կողմնային կողերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա այն կոչվում է ուղիղ պրիզմա: Այդպիսին են վերևի նկարներում ցուցադրված բոլոր պրիզմաները:

Հակառակ դեպքում, երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

Պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

n-անկյուն պրիզման ունի 3n կող, 2n գագաթ, n+2 նիստ, ընդ որում՝ նիստերից 2-ը հիմքերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

Առաջադրանքներ․

1)Քանի՞ նիստ ունի յոթանկյուն պրիզման:

9 նիստ

2)Գտեք վեցանկյուն պրիզմայի կողերի, գագաթների, նիստերի թվերը:

կող-18

գագաթ-12

նիստ-8

3)Կարո՞ղ է պրիզմայի կողերի թիվը լինել՝
ա) 13+
բ) 14
գ) 18+

4)Ի՞նչ բազմանկյուն է պրիզմայի հիմքը, եթե պրիզման ունի 
ա) 18 կող-վեցանկյուն պրիզմա
բ) 24 կող-ութանկյուն պրիզմա
գ) 9 նիստ-եռանկյուն պրիզմա

5)Կարո՞ղ է պրիզմայի նիստերի թիվը լինել՝
ա) 13
բ) 14
գ) 18+

6)Պրիզմայի գագաթների և կողերի թվերի գումարը 30 է: Քանի՞ նիստ,կող և գագաթ ունի այդ պրիզման:

2n+3n=30
5n=30

30:5=6

n=6

Բուրգի մասին դուք նախնական տեղեկություններ ունեք: Հին աշխարհի յոթ հրաշալիքներից են Եգիպտական բուրգերը:

Բուրգն այն բազմանիստն է, որի նիստերից մեկը բազմանկյուն է, իսկ մյուս բոլոր նիստերն ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ են:

Բազմանկյունը կոչվում է բուրգի հիմք, իսկ նույն գագաթով եռանկյունները՝ կողմնային նիստեր: Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանն իջեցված ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրություն:

Եթե բուրգի հիմքը n-անկյուն բազմանկյուն է, ապա բուրգն անվանում են n-անկյուն բուրգ:

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող, որոնցից n-ը հիմքի կողերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային կողերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 նիստ, որոնցից 1-ը հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 գագաթ, որոնցից 1-ը բուրգի գագաթն է, իսկ n-ը՝ հիմքի գագաթներն են:

Առաջադրանքներ․

1)Բերված մարմիններից ո՞րն է բուրգը:

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)+

զ)

2)Քանի՞ նիստ ունի իննանկյուն բուրգը:-10 նիստ ունը

3)Գտեք 8-անկյուն բուրգի կողերի, նիստերի և գագաթների թվերը։-կող-16,նիստ-89,գագաթ-9

4)Գտիր 45-անկյուն բուրգի կողերի թիվը:-90 կող

5)Ինչպե՞ս է կոչվում բուրգը, եթե այն ունի՝

ա)13 նիստ-12 անկյուն

բ)10 գագաթ-9շ անկյունն

գ)12 կող-6 անկյուն

6)Կարո՞ղ է լինել այնպիսի բուրգ, որն ունի՝

ա)9 նիստ

բ)9 կող

ոչ

7)Քառանկյուն բուրգի հիմքը 64 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։Գտեք բուրգի կողմնային կողերը։

64:4=16

Երկրաչափության այն բաժինը, որը ուսումնասիրում է պատկերների հատկությունները տարածության մեջ, կոչվում է տարածաչափություն: Այն պատկերը, որի ոչ բոլոր կետերն են ընկած միևնույն հարթության մեջ, կոչվում է տարածական պատկեր:

Զուգահեռանիստի սահմանումն ու հատկությունները.

Զուգահեռանիստ  կոչվում է այն բազմանիսը, որի բոլոր 6 նիստերը զուգահեռագծեր են:

Բազմանկյունները, որոնցից կազմված է բազմանիստի մակերևույթը, կոչվում են նիստեր: Նիստերի կողմերը կոչվում են բազմանիստի կողեր: Կողերի ծայրակետերը կոչվում են բազմանիստի գագաթներ:

Զուգահեռանիստն ունի 6 նիստ, 8 գագաթ և 12 կող:

Զուգահեռանիստի ընդհանուր կող ունեցող նիստերը կոչվում են կից, իսկ ընդհանուր կողեր չունեցող նիստերը՝ հանդիպակաց:

Զուգահեռանիստի հիմքեր անվանում են նրա որևէ երկու հանդիպակաց նիստերը, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր: 

Հիմքերին չպատկանող կողերը կոչվում են զուգահեռանիստի կողմնային կողեր: 

Նույն նիստում չգտնվող երկու գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է զուգահեռագծի անկյունագիծ: 

Գոյություն ունեն զուգահեռանիստերի երկու տեսակ՝

— ուղիղ,

— թեք:

Ուղիղ զուգահեռանիստերի կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են:

Թեք զուգահեռանիստի կողմնային նիստերը զուգահեռագծեր են:

Ուղիղ զուգահեռանիստը, որի հիմքերը ևս ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ:

Այն ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Զուգահեռանիստի հատկությունները:

— Զուգահեռանիստի հանդիպակաց նիստերը զուգահեռ են և հավասար:

— Զուգահեռանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հատվում են միևնույն կետում և այդ կետում կիսվում են: 

— Ուղիղ զուգահեռանիստերի կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են: 

Առաջադրանքներ․

2)48:12=4

1)Ո՞ր պատկերն է կոչվում բազմանկյուն։ Գծե՛ք բազմանկյուն, ցույց տվեք գագաթը, կողմերը։-

բազմանկյուն կոչվում է այն անկյունը որը շատ անկյուններ ունի

2)Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում ուռուցիկ։ Գծե՛ք ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ, ցույց տվեք անկյունները։

3)Գրեք ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարի հաշվման բանաձևը։

(n-2)x180

4)Ինչի՞ է հավասար ուռուցիկ հնգանկյան անկյունների գումարը։

180

5)Սահմանեք զուգահեռագիծը։ Զուգահեռագիծը արդյո՞ք ուռուցիկ քառանկյուն է։

ոչ

6)Ի՞նչ է եռանկյան միջին գիծը։ Գծե՛ք եռանկյուն, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։ ։

7)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում սեղան։ Ինչպե՞ս են կոչվում սեղանի կողմերը։

8)Ո՞ր սեղանն է կոչվում հավասարասրուն, ո՞րը՝ ուղղանկյուն։ Գծեք օրինակներ։

9)Ի՞նչ է սեղանի միջին գիծը։ Գծե՛ք սեղան, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։

10)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։-շեղանկյուն քառակուսի

11)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում շեղանկյուն։շեղանկյուն քառակուսի

12)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում քառակուսի։-որի կողմերը և անկյունները հավասար են

1)Տրված է ABCD ուղղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել ABF անկյունը։

180-40=140

140:2=70

<A<B=70

<BFA=90

90+70=160

180-160=20

<AB=70

<BF=70

2)Տրված է ABCD քառակուսի, PK=5սմ, AK=4։ Գտնել քառակուսու պարագիծը։

5:2=2.5

4+2.5=6.5

6.5+6.5+6.5+6.5=26

3)Տրված է ABCD շեղանկյուն։Հաշվել ABC անկյունը։

4)Տրված է ABCD ուղղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել ուղղանկյան պարագիծը։

5)Տրված է ABCD շեղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել CBE անկյունը։

6)Տրված է ABCD շեղանկյուն: Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել MD+DN-ը։

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Շեղանկյան հատկությունները․

Քանի որ շեղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Շեղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD (քանի որ հավասար են բոլոր կողմերը):

2. Շեղանկյան հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝ ∢A=∢C, ∢B=∢D:

3. Շեղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Շեղանկյան կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է՝ ∢A+∢D=180°

Միայն շեղանկյանը բնորոշ հատկություններ.

5. Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ AC⊥BD

6. Շեղանկյան անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են (անկյունները կիսում են)

7. Անկյունագծերը շեղանկյունը բաժանում են չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների՝ ABO, CBO, CDO, ADO եռանկյունները հավասար ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Քառակուսու հատկությունները․

1. Քառակուսու բոլոր կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD:

2. Քառակուսու բոլոր անկյունները 90° են:

3. Քառակուսու անկյունագծերը հավասար են և հատման կետով կիսվում են՝ BD=AC; BO=OD=AO=OC:

4. Քառակուսու անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ BD⊥AC:

5. Քառակուսու անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են՝ ∢ABD=∢DBC=∢BCA=…=45°:

6. Անկյունագիծը քառակուսին բաժանում է չորս հավասար հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունների:  

Առաջադրանքներ․

1)Քառակուսու անկյունագծերի հատման կետից մինչև կողմերը եղած հեռավորությունների գումարը 20 սմ է։ Գտեք քառակուսու պարագիծը։

20*4=80

p=80

2)Շեղանկյան անկյուններից մեկը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Հաշվիր շեղանկյան անկյունները:

x+2x=180

2x+2x+x+x

180:3=60

60×2=120

x=60

2x=120

3)Հաշվիր շեղանկյան սուր անկյունը, եթե նրա երկու անկյունների տարբերությունը 18° է:

180-18=12

162:2=81

81+18=99

4)Հաշվիր շեղանկյան բութ անկյունը, եթե նրա անկյունագծերից մեկը կողմի հետ կազմում է 31° -ի անկյուն:

31+31=62

180-62=118

5)Շեղանկյան սուր անկյունը հավասար է 60°, իսկ պարագիծը 48 մ է: Հաշվիր շեղանկյան փոքր անկյունագիծը:

48:4=12

60:2=30

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Քառակուսու պարագիծը 72 սմ է: Հաշվիր քառակուսու կողմը:

2)Հաշվիր շեղանկյան պարագիծը, եթե նրա կողմի երկարությունը 4.45 դմ է:

3)Տրված է՝ OD=3 սմ, AC=14 սմ: Գտիր BD-ն և AO-ն:

4)Հաշվիր շեղանկյան մյուս անկյունները, եթե A անկյունը 67° է:

5)Հոկտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․

Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են:

Ուղղանկյան հատկությունները․

Քանի որ ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=CD, BC=AD

2. Ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյուն 90° է:

Հետևաբար, հանդիպակաց անկյունները հավասար են և կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

3. Ուղղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD AO=OC

Նաև՝ BO=OD=AO=OC (տես, միայն ուղղանկյուններին բնորոշ, վեցերորդ հատկությունը) :

4. Անկյունագիծը ուղղանկյունը բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

5. Անկյունագծին առընթեր խաչադիր անկյունները հավասար են:

Միայն ուղղանկյուններին բնորոշ հատկություն․

6. Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են՝ BD=AC

Առաջադրանքներ․

1)Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 6սմ։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։

12+8=20

2)Գտեք ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե A անկյան կիսորդը տրոհում է՝

ա)BC կողմը 45,6սմ և 7,85սմ երկարությամբ հատվածների

բ)DC կողմը 2,7դմ և 4,5դմ երկարությամբ հատվածների

4,5*3=13,5

7,5*2=15

7,5+4,5+4,5+15=31.5

13,5+31,5=45

3)ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք AOB եռանկյան պարագիծը, եթե <CAD = 30^o, AC = 12սմ։

30+12=42

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Ուղղանկյան կից կողմերից մեկը 10սմ է, իսկ մյուսը՝ 13սմ։ Գտե՛ք ուղղանկյան պարագիծը։

10+10+13+13=46

2)ABCD ուղղանկյան AB կողմը 6սմ է, իսկ BDA անկյունը՝ 30^o։ Գտե՛ք AC անկյունագիծը։

6+30=36

3)ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում, E-ն AB կողմի միջնակետն է, <BAC = 50^o։ Գտեք <AOE-ն։