Рубрика: երկրաչափություն

Առաջադրանքներ․

1)30^o անկյուն ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է մեծ էջի շուրջը։ Գտեք պտտումից առաջացած կոնի ծնորդը, եթե այդ կոնի շառավիղը 15 սմ է:

30-15=15

2)Կոնի առանցքային հատույթը 12 սմ կողմով հավասարակողմ եռանկյուն է։ Որոշեք այդ կոնի շառավիղն ու ծնորդը։

3)Կոնի առանցքային հատույթը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի ներքնաձիգը 20 սմ է։ Գտեք այդ կոնի շառավիղը։

Գլան կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO₁-ի շուրջ: Նույն գլանը կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁B₁B ուղղանկյունն իր հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող OO₁ ուղղի շուրջ:

OO₁ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ: Գլանի H բարձրությունը հավասար է OO₁=AA₁=BB₁ հատվածներից յուրաքանչյուրին:

Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

Գլանի R=OA=OB շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի շառավիղը:

Գլանի առանցքով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է: Վերևի նկարում դա AA₁B₁B ուղղանկյունն է:

Առաջադրանքներ․

1)Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով։Գոլորշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին։ Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը։

շրջանագիծ:

2)Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է։ Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի երկարությունների հարաբերությունը։

2/1

3)Գլանի առանցքային հատույթը 40 սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են։ Գտեք գլանի շառավիղը։

5

4)Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60^o -ի անկյուն։ Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6 սմ է։

12

Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափողը ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

Եթե միևնույն կետից շրջանագծին տարված են երկու շոշափողներ, ապա

ա) շոշափման կետերի հեռավորությունները տրված կետից հավասար են,

բ) շրջանագծի կենտրոնով և տրված կետով անցնող ուղիղը կիսում է շոշափողների կազմած անկյունը:

Առաջադրանքներ․

1)Ճիշտ են արդյո՞ք հետևյալ պնդումները:

ա)Եթե ուղիղը շրջանագծի շոշափողն է, ապա այն ունի շրջանագծի հետ երկու ընդհանուր կետ:

• ոչ+
• այո

բ)Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի ընդհանուր կետ, ապա այն հանդիսանում է շրջանագծի հատող:

• այո
• ոչ+

գ)Ուղիղն ու շրջանագիծը կարող են ունենալ միայն երկու ընդհանուր կետ:

• ոչ
• այո+

2)Տրված է՝ ∢CAO=29°

Հաշվիր՝

∢ABO=90

∢COA=90

3)Տրված է A անկյունը, որի կողմերը շոշափում են O կենտրոնով և 6 սմ շառավղով շրջանագիծը: Հաշվիր OA հատվածի երկարությունը, եթե ∡A=60°:

4)Շրջանագծին A, C և E կետերում տարված են AB, BD և DE շոշափողները, իսկ AB=8 սմ: Որոշիր ACE եռանկյան պարագիծը:

180-60:2=60

3×8=24

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Շրջանագիծ կոչվում է երկրաչափական այն պատկերը, որը կազմված է հարթության բոլոր այն կետերից, որոնք գտնվում են տրված կետից տրված հեռավորության վրա:   

Այդ կետը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն, իսկ տրված հեռավորությունը՝ շրջանագծի շառավիղ:

Շառավիղը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ: Սահմանումից հետևում է, որ կարելի է տանել անվերջ թվով շառավիղներ, և դրանք բոլորը կունենան միևնույն երկարությունը:

Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար:

Եթե լարը անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, ապա այն կոչվում է շրջանագծի տրամագիծ:

Տրամագիծն ամենաերկար լարն է:

Շրջանագծում կարելի է տանել նաև անվերջ թվով տրամագծեր:

Շրջանագծի ցանկացած երկու կետեր շրջանագիծը տրոհում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ:

Եթե շրջանագծի վրա նշենք երկու կետ, ապա առաջանում են երկու աղեղներ: Այդ պատճառով աղեղի նշանակման համար օգտագործում են լատիներեն երեք տառ, որոնք կարող են լինել ինչպես մեծատառեր, այնպես էլ՝ փոքրատառեր:  

Վերևի նկարում կարող ենք նշել BDH, ACG և մյուս աղեղները:

Ներքևի նկարում գծված են AxB և AyB աղեղները:

Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը

1.Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը ուղղահայաց է այդ լարին։

2․Լարը հատող և նրան ուղղահայաց շառավիղն անցնում է այդ լարի միջնակետով։

Առաջադրանքներ․

1)Հաշվիր CA -ն, եթե CD=8 սմ և ∢AOD=120°

OC=OA=CA=>CA=4

2)Տրված են շրջանագիծ և մի քանի հատվածներ: Որո՞նք են դրանցից հանդիսանում շառավիղներ, լարեր և տրամագծեր:

FC+լար

CD=տրամագիծ

EB=տրամագիծ

NB=տրամագիծ

3) Ընտրիր շրջանագծի լարը:

Կարող են լինել մի քանի ճիշտ պատասխաններ:

NM

LK

4) Ո՞ր հատվածներն են հանդիսանում շրջանագծի տրամագիծ:

KG

FH

5) Տրված է՝ MN=7սմ, ∢ONM=60°։Գտիր՝ KN-ը։

MN=NO=>7+7=14

6)ABCD զուգահեռագծի B  գագաթից АD կողմին տարված է  BH բարձրությունը, որ AB կողմի հետ կազմում է 40 աստիճանի անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

7)Զուգահեռագծի պարագիծը 100սմ է:Նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 10սմ-ով: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը:

Պրիզմա կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը զուգահեռագծեր են:

Զուգահեռ հարթություններում գտնվող հավասար նիստերը կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր:

Հիմքերից կախված պրիզմաները լինում են եռանկյուն՝

քառանկյուն՝

վեցանկյուն և այլն

Եթե պրիզմայի կողմնային կողերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա այն կոչվում է ուղիղ պրիզմա: Այդպիսին են վերևի նկարներում ցուցադրված բոլոր պրիզմաները:

Հակառակ դեպքում, երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

Պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

n-անկյուն պրիզման ունի 3n կող, 2n գագաթ, n+2 նիստ, ընդ որում՝ նիստերից 2-ը հիմքերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

Առաջադրանքներ․

1)Քանի՞ նիստ ունի յոթանկյուն պրիզման:

9 նիստ

2)Գտեք վեցանկյուն պրիզմայի կողերի, գագաթների, նիստերի թվերը:

կող-18

գագաթ-12

նիստ-8

3)Կարո՞ղ է պրիզմայի կողերի թիվը լինել՝
ա) 13+
բ) 14
գ) 18+

4)Ի՞նչ բազմանկյուն է պրիզմայի հիմքը, եթե պրիզման ունի 
ա) 18 կող-վեցանկյուն պրիզմա
բ) 24 կող-ութանկյուն պրիզմա
գ) 9 նիստ-եռանկյուն պրիզմա

5)Կարո՞ղ է պրիզմայի նիստերի թիվը լինել՝
ա) 13
բ) 14
գ) 18+

6)Պրիզմայի գագաթների և կողերի թվերի գումարը 30 է: Քանի՞ նիստ,կող և գագաթ ունի այդ պրիզման:

2n+3n=30
5n=30

30:5=6

n=6

Բուրգի մասին դուք նախնական տեղեկություններ ունեք: Հին աշխարհի յոթ հրաշալիքներից են Եգիպտական բուրգերը:

Բուրգն այն բազմանիստն է, որի նիստերից մեկը բազմանկյուն է, իսկ մյուս բոլոր նիստերն ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ են:

Բազմանկյունը կոչվում է բուրգի հիմք, իսկ նույն գագաթով եռանկյունները՝ կողմնային նիստեր: Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանն իջեցված ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրություն:

Եթե բուրգի հիմքը n-անկյուն բազմանկյուն է, ապա բուրգն անվանում են n-անկյուն բուրգ:

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող, որոնցից n-ը հիմքի կողերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային կողերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 նիստ, որոնցից 1-ը հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 գագաթ, որոնցից 1-ը բուրգի գագաթն է, իսկ n-ը՝ հիմքի գագաթներն են:

Առաջադրանքներ․

1)Բերված մարմիններից ո՞րն է բուրգը:

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)+

զ)

2)Քանի՞ նիստ ունի իննանկյուն բուրգը:-10 նիստ ունը

3)Գտեք 8-անկյուն բուրգի կողերի, նիստերի և գագաթների թվերը։-կող-16,նիստ-89,գագաթ-9

4)Գտիր 45-անկյուն բուրգի կողերի թիվը:-90 կող

5)Ինչպե՞ս է կոչվում բուրգը, եթե այն ունի՝

ա)13 նիստ-12 անկյուն

բ)10 գագաթ-9շ անկյունն

գ)12 կող-6 անկյուն

6)Կարո՞ղ է լինել այնպիսի բուրգ, որն ունի՝

ա)9 նիստ

բ)9 կող

ոչ

7)Քառանկյուն բուրգի հիմքը 64 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։Գտեք բուրգի կողմնային կողերը։

64:4=16

Երկրաչափության այն բաժինը, որը ուսումնասիրում է պատկերների հատկությունները տարածության մեջ, կոչվում է տարածաչափություն: Այն պատկերը, որի ոչ բոլոր կետերն են ընկած միևնույն հարթության մեջ, կոչվում է տարածական պատկեր:

Զուգահեռանիստի սահմանումն ու հատկությունները.

Զուգահեռանիստ  կոչվում է այն բազմանիսը, որի բոլոր 6 նիստերը զուգահեռագծեր են:

Բազմանկյունները, որոնցից կազմված է բազմանիստի մակերևույթը, կոչվում են նիստեր: Նիստերի կողմերը կոչվում են բազմանիստի կողեր: Կողերի ծայրակետերը կոչվում են բազմանիստի գագաթներ:

Զուգահեռանիստն ունի 6 նիստ, 8 գագաթ և 12 կող:

Զուգահեռանիստի ընդհանուր կող ունեցող նիստերը կոչվում են կից, իսկ ընդհանուր կողեր չունեցող նիստերը՝ հանդիպակաց:

Զուգահեռանիստի հիմքեր անվանում են նրա որևէ երկու հանդիպակաց նիստերը, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր: 

Հիմքերին չպատկանող կողերը կոչվում են զուգահեռանիստի կողմնային կողեր: 

Նույն նիստում չգտնվող երկու գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է զուգահեռագծի անկյունագիծ: 

Գոյություն ունեն զուգահեռանիստերի երկու տեսակ՝

— ուղիղ,

— թեք:

Ուղիղ զուգահեռանիստերի կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են:

Թեք զուգահեռանիստի կողմնային նիստերը զուգահեռագծեր են:

Ուղիղ զուգահեռանիստը, որի հիմքերը ևս ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ:

Այն ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Զուգահեռանիստի հատկությունները:

— Զուգահեռանիստի հանդիպակաց նիստերը զուգահեռ են և հավասար:

— Զուգահեռանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հատվում են միևնույն կետում և այդ կետում կիսվում են: 

— Ուղիղ զուգահեռանիստերի կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են: 

Առաջադրանքներ․

2)48:12=4

1)Ո՞ր պատկերն է կոչվում բազմանկյուն։ Գծե՛ք բազմանկյուն, ցույց տվեք գագաթը, կողմերը։-

բազմանկյուն կոչվում է այն անկյունը որը շատ անկյուններ ունի

2)Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում ուռուցիկ։ Գծե՛ք ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ, ցույց տվեք անկյունները։

3)Գրեք ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարի հաշվման բանաձևը։

(n-2)x180

4)Ինչի՞ է հավասար ուռուցիկ հնգանկյան անկյունների գումարը։

180

5)Սահմանեք զուգահեռագիծը։ Զուգահեռագիծը արդյո՞ք ուռուցիկ քառանկյուն է։

ոչ

6)Ի՞նչ է եռանկյան միջին գիծը։ Գծե՛ք եռանկյուն, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։ ։

7)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում սեղան։ Ինչպե՞ս են կոչվում սեղանի կողմերը։

8)Ո՞ր սեղանն է կոչվում հավասարասրուն, ո՞րը՝ ուղղանկյուն։ Գծեք օրինակներ։

9)Ի՞նչ է սեղանի միջին գիծը։ Գծե՛ք սեղան, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։

10)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։-շեղանկյուն քառակուսի

11)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում շեղանկյուն։շեղանկյուն քառակուսի

12)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում քառակուսի։-որի կողմերը և անկյունները հավասար են

1)Տրված է ABCD ուղղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել ABF անկյունը։

180-40=140

140:2=70

<A<B=70

<BFA=90

90+70=160

180-160=20

<AB=70

<BF=70

2)Տրված է ABCD քառակուսի, PK=5սմ, AK=4։ Գտնել քառակուսու պարագիծը։

5:2=2.5

4+2.5=6.5

6.5+6.5+6.5+6.5=26

3)Տրված է ABCD շեղանկյուն։Հաշվել ABC անկյունը։

4)Տրված է ABCD ուղղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել ուղղանկյան պարագիծը։

5)Տրված է ABCD շեղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել CBE անկյունը։

6)Տրված է ABCD շեղանկյուն: Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել MD+DN-ը։

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Շեղանկյան հատկությունները․

Քանի որ շեղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Շեղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD (քանի որ հավասար են բոլոր կողմերը):

2. Շեղանկյան հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝ ∢A=∢C, ∢B=∢D:

3. Շեղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Շեղանկյան կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է՝ ∢A+∢D=180°

Միայն շեղանկյանը բնորոշ հատկություններ.

5. Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ AC⊥BD

6. Շեղանկյան անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են (անկյունները կիսում են)

7. Անկյունագծերը շեղանկյունը բաժանում են չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների՝ ABO, CBO, CDO, ADO եռանկյունները հավասար ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Քառակուսու հատկությունները․

1. Քառակուսու բոլոր կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD:

2. Քառակուսու բոլոր անկյունները 90° են:

3. Քառակուսու անկյունագծերը հավասար են և հատման կետով կիսվում են՝ BD=AC; BO=OD=AO=OC:

4. Քառակուսու անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ BD⊥AC:

5. Քառակուսու անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են՝ ∢ABD=∢DBC=∢BCA=…=45°:

6. Անկյունագիծը քառակուսին բաժանում է չորս հավասար հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունների:  

Առաջադրանքներ․

1)Քառակուսու անկյունագծերի հատման կետից մինչև կողմերը եղած հեռավորությունների գումարը 20 սմ է։ Գտեք քառակուսու պարագիծը։

20*4=80

p=80

2)Շեղանկյան անկյուններից մեկը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Հաշվիր շեղանկյան անկյունները:

x+2x=180

2x+2x+x+x

180:3=60

60×2=120

x=60

2x=120

3)Հաշվիր շեղանկյան սուր անկյունը, եթե նրա երկու անկյունների տարբերությունը 18° է:

180-18=12

162:2=81

81+18=99

4)Հաշվիր շեղանկյան բութ անկյունը, եթե նրա անկյունագծերից մեկը կողմի հետ կազմում է 31° -ի անկյուն:

31+31=62

180-62=118

5)Շեղանկյան սուր անկյունը հավասար է 60°, իսկ պարագիծը 48 մ է: Հաշվիր շեղանկյան փոքր անկյունագիծը:

48:4=12

60:2=30

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Քառակուսու պարագիծը 72 սմ է: Հաշվիր քառակուսու կողմը:

2)Հաշվիր շեղանկյան պարագիծը, եթե նրա կողմի երկարությունը 4.45 դմ է:

3)Տրված է՝ OD=3 սմ, AC=14 սմ: Գտիր BD-ն և AO-ն:

4)Հաշվիր շեղանկյան մյուս անկյունները, եթե A անկյունը 67° է:

5)Հոկտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․